Notes 笔记
数学分析 I 复习提纲
来源：数分I复习.pdf。
参考校订：数学分析 上.pdf、《数学分析》辅导.pdf。
本文件按复习页内容整理为考前提纲，公式已按标准表述校正。
1. 实数完备性与确界#
确界原理#
非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界。
等价完备性命题：
- 单调有界定理；
- 区间套定理；
- Bolzano-Weierstrass 聚点定理；
- Heine-Borel 有限覆盖定理；
- Cauchy 收敛准则。
2. 数列极限#
定义#
基本性质#
收敛数列具有：
- 极限唯一性；
- 有界性；
- 保号性；
- 保序性；
- 夹逼定理；
- 四则运算法则。
落在任意邻域 $U(A,\varepsilon)$ 外的项只有有限项。
子列判别#
数列收敛于 $A$，当且仅当它的任意子列都收敛于 $A$。
若两个子列极限不同，则原数列发散。
单调有界定理#
单调且有界的数列必收敛。
Cauchy 收敛准则#
数列 $\{a_n\}$ 收敛，当且仅当 $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall m,n>N,\quad |a_m-a_n|<\varepsilon. $$
Stolz 定理#
若 $b_n$ 严格递增且 $b_n\to+\infty$，并且 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=L, $$ 则 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L. $$
使用时先确认 $b_n$ 的单调性和趋于 $+\infty$；它本质上是“差商极限推出商极限”。
3. 函数极限#
$\varepsilon$-$\delta$ 定义#
无穷远处极限： $$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=A $$ 当且仅当 $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists M>0,\quad x>M\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon. $$
Heine 归结原则#
$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ 当且仅当对任意满足 $x_n\ne x_0$ 且 $x_n\to x_0$ 的数列，都有 $$ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=A. $$
Cauchy 准则#
$\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，当且仅当 $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\quad 0<|x_1-x_0|<\delta,\ 0<|x_2-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon. $$
无穷小、无穷大与渐近线#
- $f(x)\to0$ 称为无穷小； - $|f(x)|\to+\infty$ 称为无穷大； - 若 $$ \lim_{x\to\infty}\bigl[f(x)-(kx+b)\bigr]=0, $$ 则 $y=kx+b$ 为斜渐近线。
4. 连续函数#
连续定义#
$f$ 在 $x_0$ 连续，当且仅当 $$ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). $$
等价地： $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. $$
间断点分类#
- 可去间断点：左右极限相等且有限，但函数值缺失或不等于该极限；
- 跳跃间断点：左右极限均存在且有限，但不相等；
- 第二类间断点：至少一个单侧极限不存在或为无穷。
若函数仅有有限个第一类间断点，常称为分段连续函数。
闭区间连续函数性质#
若 $f\in C[a,b]$，则：
- 有界性定理；
- 最大最小值定理；
- 零点存在定理；
- 介值定理；
- 一致连续性定理。
一致连续#
$f$ 在 $D$ 上一致连续，当且仅当 $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad x,y\in D,\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon. $$
闭区间上连续函数必一致连续。
若 $f$ 在 $(a,b)$ 连续，则常用判别：
若 $f(a+)$ 与 $f(b-)$ 均存在且有限，则 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。
常见充分条件：
- Lipschitz 条件；
- 导数有界；
- Cantor 定理，即闭区间连续推出一致连续。
5. 导数与微分#
导数#
可导必连续，连续未必可导。
费马定理#
若 $f$ 在 $x_0$ 可导，且 $x_0$ 是局部极值点，则 $$ f'(x_0)=0. $$
微分#
$f$ 在 $x_0$ 可微，当且仅当 $$ f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x). $$
此时 $$ A=f'(x_0),\qquad dy=f'(x_0)\,dx. $$
6. 微分中值定理#
Rolle 定理#
若 $f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$ f'(\xi)=0. $$
Lagrange 中值定理#
若 $f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$
Cauchy 中值定理#
若 $f,g\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，且 $g'(x)\ne0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. $$
Darboux 定理#
导函数具有介值性。即若 $f$ 在区间上可导，则 $f'$ 虽不一定连续，但不能有跳跃间断。
7. L'Hospital 法则与 Taylor 公式#
L'Hospital 法则#
若 $f,g$ 在 $x_0$ 的去心邻域内可导，$g'(x)\ne0$，并且属于 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型，且 $$ \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L, $$ 则 $$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L $$ 在相应条件下成立。
洛必达法则必须先判定未定式；若原极限不是 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型，应先化简或使用其他极限法则。
Taylor 公式#
Peano 余项： 若 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则 $$ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o\bigl((x-x_0)^n\bigr). $$
Lagrange 余项： 若 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 间有 $n+1$ 阶导数，则 $$ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}. $$
常用展开：
8. 极值、单调性与凸性#
极值判别#
一阶充分条件：若 $f'$ 在 $x_0$ 两侧变号，则 $x_0$ 为极值点。
二阶充分条件：若 $$ f'(x_0)=0,\qquad f''(x_0)>0, $$ 则 $x_0$ 为局部极小点；若 $f''(x_0)<0$，则为局部极大点。
单调性#
若 $f'(x)\ge0$，则 $f$ 单调不减；若 $f'(x)>0$，则 $f$ 严格递增。
凸函数#
$f$ 在区间 $I$ 上为凸函数，当且仅当对任意 $x,y\in I$ 与 $\lambda\in[0,1]$， $$ f(\lambda x+(1-\lambda)y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y). $$
若 $f$ 二阶可导，则 $$ f''(x)\ge0 $$ 是凸函数的充要条件。
Jensen 不等式： 若 $f$ 凸，$\lambda_i\ge0$，$\sum\lambda_i=1$，则 $$ f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^n\lambda_i f(x_i). $$
9. 不定积分#
若 $F'(x)=f(x)$，则 $F$ 是 $f$ 的原函数， $$ \int f(x)\,dx=F(x)+C. $$
常用方法：
- 第一换元法； - 第二换元法； - 分部积分： $$ \int u\,dv=uv-\int v\,du. $$
常见积分：
10. 定积分#
Riemann 可积#
设 $f$ 在 $[a,b]$ 有界。若当分割细度 $|T|\to0$ 时，任意积分和 $$ \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i $$ 极限存在且与分割和取点无关，则 $f$ 在 $[a,b]$ 可积。
记作 $$ \int_a^b f(x)\,dx. $$
可积条件：
- 连续函数可积；
- 单调函数可积；
- 有界且仅有限个间断点的函数可积；
- 可积函数必有界。
Darboux 判别常用形式： $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists T,\quad U(T)-L(T)<\varepsilon. $$
Newton-Leibniz 公式#
若 $f\in C[a,b]$，且 $F'=f$，则 $$ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). $$
积分中值定理#
若 $f,g\in C[a,b]$ 且 $g$ 不变号，则存在 $\xi\in[a,b]$，使 $$ \int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx. $$
变上限积分#
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，定义 $$ F(x)=\int_a^x f(t)\,dt, $$ 则 $F$ 连续；若 $f$ 在 $x$ 连续，则 $$ F'(x)=f(x). $$
11. 定积分应用#
面积： $$ S=\int_a^b f(x)\,dx $$ 或两曲线之间 $$ S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx. $$
参数曲线弧长： 若 $$ x=x(t),\quad y=y(t),\quad t\in[\alpha,\beta], $$ 则 $$ s=\int_\alpha^\beta \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt. $$
旋转体体积常用： $$ V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx. $$
12. 反常积分#
无穷区间积分#
若极限存在且有限，则称收敛。
瑕积分#
若 $f$ 在 $a$ 附近无界，则 $$ \int_a^b f(x)\,dx =\lim_{\varepsilon\to0+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx. $$
Cauchy 收敛准则#
判别法#
比较判别：
若 $0\le f(x)\le g(x)$，且 $\int_a^\infty g(x)\,dx$ 收敛，则 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 收敛。
绝对收敛： 若 $$ \int_a^\infty |f(x)|\,dx $$ 收敛，则 $$ \int_a^\infty f(x)\,dx $$ 收敛。
Dirichlet 判别： 若 $$ F(A)=\int_a^A f(x)\,dx $$ 有界，$g(x)$ 单调且 $g(x)\to0$，则 $$ \int_a^\infty f(x)g(x)\,dx $$ 收敛。
Abel 判别： 若 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 收敛，$g(x)$ 单调有界，则 $$ \int_a^\infty f(x)g(x)\,dx $$ 收敛。