Notes 笔记

数学分析 I 复习提纲

2026年4月24日数学作者 qqqzj-crane 约 5 分钟

来源：数分I复习.pdf。
参考校订：数学分析上.pdf、《数学分析》辅导.pdf。
本文件按复习页内容整理为考前提纲，公式已按标准表述校正。

1. 实数完备性与确界#

确界原理#

非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界。

等价完备性命题：

单调有界定理；
区间套定理；
Bolzano-Weierstrass 聚点定理；
Heine-Borel 有限覆盖定理；
Cauchy 收敛准则。

2. 数列极限#

定义#

\lim_{n\to\infty}a_n=A

当且仅当

\forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n>N,\quad |a_n-A|<\varepsilon.

基本性质#

收敛数列具有：

极限唯一性；
有界性；
保号性；
保序性；
夹逼定理；
四则运算法则。

落在任意邻域 $U(A,\varepsilon)$ 外的项只有有限项。

子列判别#

数列收敛于 $A$，当且仅当它的任意子列都收敛于 $A$。

若两个子列极限不同，则原数列发散。

单调有界定理#

单调且有界的数列必收敛。

Cauchy 收敛准则#

数列 $\{a_n\}$ 收敛，当且仅当

\forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall m,n>N,\quad |a_m-a_n|<\varepsilon.

Stolz 定理#

若 $b_n$ 严格递增且 $b_n\to+\infty$，并且

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=L,

则

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L.

使用时先确认 $b_n$ 的单调性和趋于 $+\infty$；它本质上是“差商极限推出商极限”。

3. 函数极限#

$\varepsilon$-$\delta$ 定义#

\lim_{x\to x_0}f(x)=A

当且仅当

\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\quad 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.

无穷远处极限：

\lim_{x\to+\infty}f(x)=A

当且仅当

\forall \varepsilon>0,\ \exists M>0,\quad x>M\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.

Heine 归结原则#

$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ 当且仅当对任意满足 $x_n\ne x_0$ 且 $x_n\to x_0$ 的数列，都有

\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A.

Cauchy 准则#

$\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，当且仅当

\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\quad 0<|x_1-x_0|<\delta,\ 0<|x_2-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.

无穷小、无穷大与渐近线#

$f(x)\to0$ 称为无穷小；
$|f(x)|\to+\infty$ 称为无穷大；
若 $\lim_{x\to\infty}\bigl[f(x)-(kx+b)\bigr]=0,$ 则 $y=kx+b$ 为斜渐近线。

4. 连续函数#

连续定义#

$f$ 在 $x_0$ 连续，当且仅当

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

等价地：

\forall \varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.

间断点分类#

可去间断点：左右极限相等且有限，但函数值缺失或不等于该极限；
跳跃间断点：左右极限均存在且有限，但不相等；
第二类间断点：至少一个单侧极限不存在或为无穷。

若函数仅有有限个第一类间断点，常称为分段连续函数。

闭区间连续函数性质#

若 $f\in C[a,b]$，则：

有界性定理；
最大最小值定理；
零点存在定理；
介值定理；
一致连续性定理。

一致连续#

$f$ 在 $D$ 上一致连续，当且仅当

\forall \varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad x,y\in D,\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

闭区间上连续函数必一致连续。

若 $f$ 在 $(a,b)$ 连续，则常用判别：
若 $f(a+)$ 与 $f(b-)$ 均存在且有限，则 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。

常见充分条件：

Lipschitz 条件；
导数有界；
Cantor 定理，即闭区间连续推出一致连续。

5. 导数与微分#

导数#

f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.

可导必连续，连续未必可导。

费马定理#

若 $f$ 在 $x_0$ 可导，且 $x_0$ 是局部极值点，则

$$ f'(x_0)=0. $$

微分#

$f$ 在 $x_0$ 可微，当且仅当

f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x).

此时

A=f'(x_0),\qquad dy=f'(x_0)\,dx.

6. 微分中值定理#

Rolle 定理#

若 $f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使

f'(\xi)=0.

Lagrange 中值定理#

若 $f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，则存在 $\xi\in(a,b)$，使

f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Cauchy 中值定理#

若 $f,g\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，且 $g'(x)\ne0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

Darboux 定理#

导函数具有介值性。即若 $f$ 在区间上可导，则 $f'$ 虽不一定连续，但不能有跳跃间断。

7. L'Hospital 法则与 Taylor 公式#

L'Hospital 法则#

若 $f,g$ 在 $x_0$ 的去心邻域内可导，$g'(x)\ne0$，并且属于 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型，且

\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L,

则

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L

在相应条件下成立。

洛必达法则必须先判定未定式；若原极限不是 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型，应先化简或使用其他极限法则。

Taylor 公式#

Peano 余项：
若 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则

f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o\bigl((x-x_0)^n\bigr).

Lagrange 余项：
若 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 间有 $n+1$ 阶导数，则

f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.

常用展开：

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n),

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n).

8. 极值、单调性与凸性#

极值判别#

一阶充分条件：若 $f'$ 在 $x_0$ 两侧变号，则 $x_0$ 为极值点。

二阶充分条件：若

f'(x_0)=0,\qquad f''(x_0)>0,

则 $x_0$ 为局部极小点；若 $f''(x_0)<0$，则为局部极大点。

单调性#

若 $f'(x)\ge0$，则 $f$ 单调不减；若 $f'(x)>0$，则 $f$ 严格递增。

凸函数#

$f$ 在区间 $I$ 上为凸函数，当且仅当对任意 $x,y\in I$ 与 $\lambda\in[0,1]$，

f(\lambda x+(1-\lambda)y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y).

若 $f$ 二阶可导，则

f''(x)\ge0

是凸函数的充要条件。

Jensen 不等式：
若 $f$ 凸，$\lambda_i\ge0$，$\sum\lambda_i=1$，则

f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^n\lambda_i f(x_i).

9. 不定积分#

若 $F'(x)=f(x)$，则 $F$ 是 $f$ 的原函数，

\int f(x)\,dx=F(x)+C.

常用方法：

第一换元法；
第二换元法；
分部积分： $\int u\,dv=uv-\int v\,du.$ 常见积分：

\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,\qquad \int \sec^2x\,dx=\tan x+C,

\int \csc^2x\,dx=-\cot x+C.

10. 定积分#

Riemann 可积#

设 $f$ 在 $[a,b]$ 有界。若当分割细度 $|T|\to0$ 时，任意积分和

\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i

极限存在且与分割和取点无关，则 $f$ 在 $[a,b]$ 可积。

记作

\int_a^b f(x)\,dx.

可积条件：

连续函数可积；
单调函数可积；
有界且仅有限个间断点的函数可积；
可积函数必有界。

Darboux 判别常用形式：

\forall \varepsilon>0,\ \exists T,\quad U(T)-L(T)<\varepsilon.

Newton-Leibniz 公式#

若 $f\in C[a,b]$，且 $F'=f$，则

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).

积分中值定理#

若 $f,g\in C[a,b]$ 且 $g$ 不变号，则存在 $\xi\in[a,b]$，使

\int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx.

变上限积分#

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，定义

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,

则 $F$ 连续；若 $f$ 在 $x$ 连续，则

$$ F'(x)=f(x). $$

11. 定积分应用#

面积：

S=\int_a^b f(x)\,dx

或两曲线之间

S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx.

参数曲线弧长：
若

x=x(t),\quad y=y(t),\quad t\in[\alpha,\beta],

则

s=\int_\alpha^\beta \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt.

旋转体体积常用：

V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx.

12. 反常积分#

无穷区间积分#

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx =\lim_{A\to+\infty}\int_a^A f(x)\,dx.

若极限存在且有限，则称收敛。

瑕积分#

若 $f$ 在 $a$ 附近无界，则

\int_a^b f(x)\,dx =\lim_{\varepsilon\to0+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx.

Cauchy 收敛准则#

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx

收敛，当且仅当

\forall \varepsilon>0,\ \exists A,\ \forall A_1,A_2>A,\quad \left|\int_{A_1}^{A_2}f(x)\,dx\right|<\varepsilon.

判别法#

比较判别：
若 $0\le f(x)\le g(x)$，且 $\int_a^\infty g(x)\,dx$ 收敛，则 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 收敛。

绝对收敛：
若

\int_a^\infty |f(x)|\,dx

收敛，则

\int_a^\infty f(x)\,dx

收敛。

Dirichlet 判别：
若

F(A)=\int_a^A f(x)\,dx

有界，$g(x)$ 单调且 $g(x)\to0$，则

\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx

收敛。

Abel 判别：
若 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 收敛，$g(x)$ 单调有界，则

\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx

收敛。

附件#

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