数学分析 I

实数、确界与函数#

实数集的基本性质#

实数集 $\mathbb R$ 的常用性质：

1. 有序性：任意 $a,b\in\mathbb R$ 可比较大小。
2. 传递性：若 $a>b$，$b>c$，则 $a>c$。
3. 阿基米德性：若 $a>0$，$b\in\mathbb R$，则存在 $n\in\mathbb N$，使
   $$ na>b. $$
4. 稠密性：任意两个不同实数之间都有有理数，也都有无理数。
5. 数轴对应：实数与数轴上的点一一对应。
6. 完备性：用确界原理、区间套定理、单调有界定理等形式表达。

补充：

• $\mathbb Q$ 与无理数集在 $\mathbb R$ 中都稠密。
• “若对任意 $\varepsilon>0$，$|a-b|<\varepsilon$，则 $a=b$”是常用证明技巧。

邻域#

点 $a$ 的 $\delta$ 邻域：

空心邻域：

左右邻域：

无穷远邻域：

上界、下界、确界#

设 $S\subset\mathbb R$，$S\ne\varnothing$。

若存在 $M$，使对一切 $x\in S$ 有 $x\le M$，则称 $S$ 有上界，$M$ 是上界。下界类似。

$\alpha=\sup S$ 当且仅当：

1. 对一切 $x\in S$，有 $x\le\alpha$；
2. 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $x_\varepsilon\in S$，使
   $$ \alpha-\varepsilon<x_\varepsilon\le\alpha. $$
   $\beta=\inf S$ 当且仅当：
3. 对一切 $x\in S$，有 $\beta\le x$；
4. 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $x_\varepsilon\in S$，使
   $$ \beta\le x_\varepsilon<\beta+\varepsilon. $$

确界原理#

非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界。

例题类型：

1. 证明 $\mathbb N^+$ 有下界但无上界。
2. 若 $A,B$ 非空且对任意 $x\in A,y\in B$ 有 $x\le y$，则
   $$ \sup A\le \inf B. $$
   若还满足分割条件，可得到 $\sup A=\inf B$。
3. 若 $S$ 有最大元，则 $\sup S=\max S$。
4. 若 $S$ 无上界，记 $\sup S=+\infty$；若无下界，记 $\inf S=-\infty$。

函数与函数有界性#

若 $X,Y\subseteq\mathbb R$，映射

称为定义在 $X$ 上、取值于 $Y$ 的函数。

函数有界：

上无界：

常见例子：

• Dirichlet 函数
  $$ D(x)= \begin{cases} 1,&x\in\mathbb Q,\\ 0,&x\notin\mathbb Q. \end{cases} $$
• 分段函数与符号函数 $\operatorname{sgn}x$，后面用于讨论极限与连续。

本章例题#

例 1：证明 $\mathbb N^+$ 有下界但无上界。

解：对任意 $n\in\mathbb N^+$，有 $n\ge1$，所以 $1$ 是下界。若存在上界 $M$，由阿基米德性可取 $n\in\mathbb N^+$ 使 $n>M$，矛盾。因此 $\mathbb N^+$ 无上界。

例 2：设 $A,B$ 非空，且对任意 $x\in A,y\in B$ 有 $x\le y$。证明

解：任取 $y\in B$，由条件知 $y$ 是 $A$ 的上界，所以 $\sup A\le y$。于是 $\sup A$ 是 $B$ 的下界，故 $\sup A\le\inf B$。

例 3：若 $S$ 有最大元 $m$，证明 $\sup S=m$。

解：对任意 $x\in S$ 有 $x\le m$，所以 $m$ 是上界。又 $m\in S$，任何小于 $m$ 的数都不是上界，因此 $m$ 是最小上界。

数列极限#

数列与极限定义#

数列是定义在正整数集上的函数：

极限定义：

当且仅当

否定形式：

当且仅当

发散：

极限证明模板#

证明 $a_n\to a$ 的标准步骤：

1. 估计 $|a_n-a|$；
2. 将其放缩为某个关于 $n$ 的简单表达式；
3. 给定 $\varepsilon>0$，反解出 $n>N(\varepsilon)$；
4. 取合适 $N$。

• 证明 $\frac1n\to0$：
  给定 $\varepsilon>0$，取 $N>\frac1\varepsilon$，则 $n>N$ 时
  $$ \left|\frac1n-0\right|<\varepsilon. $$
• 证明 $\sqrt[n]{a}\to1$（$a>0$）：可用对数或 Bernoulli 不等式。
• 证明含根式、有理式的数列极限：先有理化或同除最高阶。

收敛数列的性质#

唯一性#

若 $a_n\to a$ 且 $a_n\to b$，则 $a=b$。

证明：
给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使

则

由 $\varepsilon$ 任意得 $a=b$。

有界性#

收敛数列必有界。

证明：
取 $\varepsilon=1$，从某项起 $|a_n-a|<1$，前面有限项取最大值即可。

保号性#

若 $a_n\to a>0$，则从某项起 $a_n>0$。取 $\varepsilon=a/2$。

保序性#

若 $a_n\to a$，$b_n\to b$，且从某项起 $a_n\le b_n$，则

夹逼定理#

若

则

四则运算#

若 $a_n\to a$，$b_n\to b$，则

若 $b\ne0$ 且 $b_n\ne0$ 从某项起成立，则

子列#

设 $n_1<n_2<\cdots$，则 $\{a_{n_k}\}$ 是 $\{a_n\}$ 的子列。

定理：

推论：

• 若存在两个子列极限不同，则原数列发散。
• 若所有子列都有同一极限，则原数列收敛。

例子：

• $a_n=(-1)^n$ 有子列 $a_{2k}=1$ 与 $a_{2k-1}=-1$，故发散。
• 若 $a_{2n}\to a$，$a_{2n-1}\to a$，则 $a_n\to a$。

单调有界定理#

单调递增且有上界的数列必收敛，且

单调递减且有下界的数列必收敛，且极限为下确界。

证明：
令 $\alpha=\sup\{a_n\}$。由上确界定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使

单调递增给出 $n>N$ 时

故 $|a_n-\alpha|<\varepsilon$。

致密性定理与 Cauchy 收敛准则#

致密性定理：
任意有界数列必存在收敛子列。

Cauchy 收敛准则：

证明：

• 收敛推出 Cauchy：用三角不等式。
• Cauchy 推出收敛：先证明有界，再由致密性定理取收敛子列，最后用 Cauchy 性把全数列拉到同一极限。

Stolz 定理与常用极限#

Stolz 定理：
设 $b_n$ 严格递增且 $b_n\to+\infty$。若极限

存在于扩充实数意义下，则

常见应用：

• 算术平均：
  若 $a_n\to a$，则
  $$ \frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\to a. $$
• 幂平均与根式极限。
• $1+\frac12+\cdots+\frac1n$ 与 $\ln n$ 的比较。

若 $a_n>0$ 且

其中 $0\le l<+\infty$，则

本章例题#

例 1：证明 $\frac1n\to0$。

解：给定 $\varepsilon>0$，取 $N>1/\varepsilon$。当 $n>N$ 时，

例 2：证明 $\sqrt[n]{a}\to1$，其中 $a>0$。

解：若 $a>1$，令 $b_n=\sqrt[n]{a}-1>0$。由 Bernoulli 不等式，

故

若 $0<a<1$，对 $1/a$ 使用上面的结论，再取倒数即可。

例 3：证明 $a_n=(-1)^n$ 发散。

解：$a_{2n}=1$，$a_{2n-1}=-1$，两个子列极限不同，所以原数列发散。

例 4：若 $a_n\to a$，证明

解：令 $s_n=a_1+\cdots+a_n$。由 Stolz 定理，

例 5：设

证明 $x_n\to\sqrt a$。

解：由 AM-GM 知 $x_{n+1}\ge\sqrt a$。当 $n\ge2$ 时，

故 $\{x_n\}_{n\ge2}$ 单调递减且有下界，因而收敛。设极限为 $L>0$，代入递推式得

所以 $L=\sqrt a$。

函数极限#

函数极限定义#

若 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，则

当且仅当

左右极限：

双侧极限存在当且仅当左右极限存在且相等。

无穷远处极限：

极限与函数在点处取值无关#

函数极限只依赖于去心邻域中的函数值，与 $f(x_0)$ 是否定义、取什么值无关。

例子：

• $\operatorname{sgn}x$ 在 $0$ 处左右极限不同，双侧极限不存在。
• $f(x)=\sin\frac1x$ 在 $x\to0$ 时不存在极限，可取
  $$ x_n=\frac1{2n\pi+\pi/2},\qquad y_n=\frac1{2n\pi+3\pi/2} $$
  得到函数值分别趋向 $1$ 与 $-1$。

Heine 归结原则#

设 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。则

当且仅当对任意 $x_n$ 满足 $x_n\ne x_0$ 且 $x_n\to x_0$，都有

用途：

1. 证明极限存在：转化为任意数列。
2. 证明极限不存在：找两条趋向同一点的数列，使函数值极限不同。

Cauchy 准则#

函数极限存在当且仅当：

只要 $x',x''\in U^\circ(x_0,\delta)$，就有

两个重要极限#

常用推论：

第二重要极限：

也可写为

无穷小、无穷大与等价#

无穷小：

无穷大：

若

则

常用等价无穷小：

渐近线#

垂直渐近线：
若

则 $x=x_0$ 为垂直渐近线。

水平渐近线：
若

则 $y=b$ 为水平渐近线。

斜渐近线：
若存在 $k,b$，使

则 $y=kx+b$ 为斜渐近线，其中

本章例题#

例 1：讨论 $\operatorname{sgn}x$ 在 $0$ 处的极限。

解：$x\to0+$ 时函数值为 $1$，$x\to0-$ 时函数值为 $-1$。左右极限不同，所以双侧极限不存在。

例 2：证明 $\lim_{x\to0}\sin\frac1x$ 不存在。

解：取

则 $x_n,y_n\to0$，但

由 Heine 归结原则，极限不存在。

例 3：求

解：由 $1-\cos x\sim x^2/2$，极限为 $1/2$。

例 4：求曲线

当 $x\to+\infty$ 时的斜渐近线。

解：

故斜渐近线为 $y=x$。

连续函数#

连续定义#

$f$ 在 $x_0$ 连续，当且仅当：

1. $f(x_0)$ 有定义；
2. $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在；
3. $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

等价 $\varepsilon$-$\delta$ 形式：

间断点分类#

1. 可去间断点：极限存在，但函数值缺失或不等于极限。
2. 跳跃间断点：左右极限存在且有限，但不相等。
3. 第二类间断点：至少一个单侧极限不存在或为无穷。

例子：

• $\operatorname{sgn}x$ 在 $0$ 处是跳跃间断点。
• $\sin\frac1x$ 在 $0$ 处是第二类间断点。
• 改变一点函数值，只会产生或消除可去间断点。

连续函数运算#

若 $f,g$ 在 $x_0$ 连续，则

在 $x_0$ 连续；若 $g(x_0)\ne0$，则

在 $x_0$ 连续。

若 $g$ 在 $x_0$ 连续，$f$ 在 $g(x_0)$ 连续，则 $f\circ g$ 在 $x_0$ 连续。

初等函数在其定义域内连续。

闭区间连续函数性质#

有界性定理：
若 $f\in C[a,b]$，则 $f$ 有界。

最值定理：
若 $f\in C[a,b]$，则存在 $\xi,\eta\in[a,b]$，使

零点定理：
若 $f\in C[a,b]$，且 $f(a)f(b)<0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使

介值定理：
若 $f\in C[a,b]$，则 $f$ 取遍 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值。

证明：

• 有界性与最值定理常用致密性定理反证。
• 零点定理可用区间套或确界法。
• 介值定理可转化为零点定理，令 $g(x)=f(x)-C$。

一致连续#

$f$ 在 $D$ 上一致连续：

与逐点连续的区别：一致连续中的 $\delta$ 只依赖 $\varepsilon$，不依赖具体点。

Cantor 定理：
若 $f\in C[a,b]$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

常用判别：

• Lipschitz 条件推出一致连续；
• 若 $f'$ 在区间上有界，则 $f$ 在该区间上一致连续；
• 在有限开区间 $(a,b)$ 上，若 $f(a+)$、$f(b-)$ 存在且有限，通常可延拓到闭区间，从而一致连续。

例子：

• $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。
• $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上连续但不一致连续。

反函数连续性#

若 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调且连续，则反函数 $f^{-1}$ 在 $f(I)$ 上连续，且单调性与 $f$ 相同。

证明：
用介值性和严格单调性证明反函数的邻域控制。

本章例题#

例 1：讨论

在 $0$ 处的连续性。

解：因为

所以 $f$ 在 $0$ 处不连续，且是可去间断点。

例 2：证明 $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。

解：取

则 $|x_n-y_n|\to0$，但

故不一致连续。

例 3：证明 $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上连续但不一致连续。

解：取 $x_n=n$，$y_n=n+1/n$。则 $|x_n-y_n|\to0$，但

导数与微分#

导数定义#

等价写法：

左右导数：

可导当且仅当左右导数存在且相等。

可导必连续，连续不一定可导。

例子：

• $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续但不可导；
• 分段函数在分界点处需要分别检查连续性、左右导数。

求导法则#

复合函数：

反函数：
若 $f$ 在 $x_0$ 的邻域内连续严格单调、可导，且 $f'(x_0)\ne0$，令 $y_0=f(x_0)$，则

参数方程：
若 $x=x(t)$，$y=y(t)$，且 $x'(t)\ne0$，则

高阶导数#

递推定义：

Leibniz 公式：

微分#

$f$ 在 $x_0$ 可微，当且仅当

此时 $A=f'(x_0)$，并记

可微与可导等价（一元函数情形）。

微分法则：

本章例题#

例 1：证明 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处不可导。

解：

当 $h\to0+$ 时极限为 $1$，当 $h\to0-$ 时极限为 $-1$，左右导数不同。

例 2：求 $y=\arctan x$ 的导数。

解：令 $x=\tan y$，则

所以

例 3：设 $x=t^2$，$y=t^3$。当 $t\ne0$ 时求 $dy/dx$。

解：

例 4：求 $(x^2e^x)'$。

解：

微分中值定理、Taylor 公式与凸性#

Fermat 定理#

若 $f$ 在 $x_0$ 可导，且 $x_0$ 是局部极值点，则

注意：$f'(x_0)=0$ 只是极值的必要条件，不是充分条件。

Rolle 定理#

若 $f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使

Lagrange 中值定理#

若 $f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，则存在 $\xi\in(a,b)$，使

推论：

• 若 $f'=0$，则 $f$ 为常数；
• 若 $f'>0$，则 $f$ 严格递增；
• 若 $f'<0$，则 $f$ 严格递减；
• 若 $f'\ge0$，则 $f$ 单调不减。

Darboux 定理#

导函数具有介值性。也就是说，导函数即使不连续，也不能有跳跃间断。

Cauchy 中值定理#

若 $f,g\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，且 $g'(x)\ne0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使

L'Hospital 法则#

对 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型，若 $f,g$ 在相应去心邻域内可导，$g'\ne0$，且

同时分母 $g$ 在去心邻域内不为 $0$，则在常用的洛必达条件下

使用流程：

1. 先判定是否为未定式；
2. 检查 $g'\ne0$；
3. 求导后极限存在；
4. 必要时可多次使用，但每次都要重新检查未定式。

Taylor 公式#

Peano 余项：
若 $f$ 在 $x_0$ 处存在 $n$ 阶导数，则

Lagrange 余项：
若 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间有相应的 $n+1$ 阶导数，则存在介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使

常用 Maclaurin 展开：

极值判别#

第一充分条件：
若 $f'$ 在 $x_0$ 两侧变号，则 $x_0$ 为极值点。

第二充分条件：
若

则 $x_0$ 为极小值点；若 $f''(x_0)<0$，则为极大值点。

高阶判别：
若

则 $n$ 偶时有极值，$n$ 奇时无极值。

凸函数#

定义：

可导判别：
若 $f$ 在区间内可导，则 $f$ 凸当且仅当图像在任一点切线之上：

二阶判别：
若 $f$ 在区间内二阶可导，则

Jensen 不等式：
若 $f$ 凸，$\lambda_i\ge0$，$\sum\lambda_i=1$，则

拐点：
若曲线在 $x_0$ 两侧凹凸性发生改变，则 $x_0$ 为拐点候选。若 $f''$ 在 $x_0$ 两侧变号，通常可判定为拐点。

本章例题#

例 1：证明 $x>0$ 时 $\ln(1+x)<x$。

解：令 $f(x)=x-\ln(1+x)$，则

又 $f(0)=0$，所以 $x>0$ 时 $f(x)>0$。

例 2：证明 $x>0$ 时 $\sin x<x$。

解：令 $f(x)=x-\sin x$。则

故 $f(x)\ge0$。当 $x>0$ 时不恒等取零，因此 $\sin x<x$。

例 3：求

解：由

得极限为 $1/2$。

例 4：求

解：由

得极限为 $1/3$。

例 5：讨论 $f(x)=x^3$ 在 $0$ 处是否有极值。

解：虽然 $f'(0)=0$，但 $f'(x)=3x^2\ge0$，函数在 $0$ 两侧均单调不减，没有极大或极小。

实数完备性几个定理#

区间套定理#

若

且

则存在唯一 $\xi$，使

聚点定理#

点 $\xi$ 是点集 $S$ 的聚点，若任意邻域内都含有 $S$ 中异于 $\xi$ 的点。

等价表述：
存在 $S$ 中互异点列 $x_n$，使

Weierstrass 聚点定理：
有界无限点集必有聚点。

Heine-Borel 有限覆盖定理#

闭区间 $[a,b]$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖。

证明通常使用区间套定理反证。

本章例题#

例 1：设

求这个区间套确定的点。

解：$I_1\supset I_2\supset\cdots$，且长度 $1/n\to0$。公共点唯一，为 $0$。

例 2：求

的聚点。

解：$0$ 的任意邻域中都有足够大的 $1/n$，故 $0$ 是聚点。其他点附近只能含有限个 $S$ 中的点，不是聚点。

例 3：说明 $(0,1)$ 的开覆盖不一定有有限子覆盖。

解：取

它覆盖 $(0,1)$。任取有限多个，其中最小左端点为 $1/N$，则 $(0,1/N]$ 未被覆盖。

不定积分#

原函数与不定积分#

若 $F'=f$，则 $F$ 是 $f$ 的原函数。

不定积分：

若 $F,G$ 都是 $f$ 的原函数，则 $F-G$ 为常数。

几何意义：
不定积分代表积分曲线族，曲线之间相差一个竖直平移。

基本积分表#

换元积分法#

第一换元法：

第二换元法：
令 $x=\varphi(t)$，则

分部积分法#

常见应用：

• $\int x e^x dx$；
• $\int x\sin x dx$；
• $\int \ln x dx$；
• $\int \arctan x dx$；
• $\int \sin^m x\cos^n x dx$ 的递推。

本章例题#

例 1：求

解：令 $u=1+x^2$，则

例 2：求 $\int\ln x\,dx$，其中 $x>0$。

解：令 $u=\ln x$，$dv=dx$，则

例 3：求

解：由

得

定积分#

Riemann 积分定义#

分割：

小区间长度：

积分和：

若当 $|T|\to0$ 时积分和极限存在且与分割、取点无关，则 $f$ 可积，记作

可积必要条件与 Darboux 判别#

可积函数必有界。

Darboux 上下和：

可积充要条件：

常见充分条件：

1. 连续函数可积；
2. 单调函数可积；
3. 有界且仅有限个间断点的函数可积。

例子：

• Dirichlet 函数不可积；
• Riemann 函数类型可积性讨论；
• 单调函数可积证明：利用上、下和差估计。

定积分性质#

线性：

区间可加：

保序：
若 $f\le g$，则

绝对值不等式：

积分中值定理#

第一积分中值定理：
若 $f\in C[a,b]$，$g$ 可积且不变号，则存在 $\xi\in[a,b]$，使

特别地：

微积分基本定理#

若 $f$ 可积，定义

则 $F$ 连续。若 $f$ 在 $x$ 处连续，则

若 $f\in C[a,b]$，$\Phi'=f$，则

• 求 $F(x)=\int_a^x \sin t^2\,dt$ 的导数；
• 求
  $$ F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)\,dt $$
  的导数：
  $$ F'(x)=f(\beta(x))\beta'(x)-f(\alpha(x))\alpha'(x). $$

定积分换元与分部积分#

换元：

分部积分：

积分第二中值定理#

若 $f$ 单调，$g$ 可积，则存在 $\xi\in[a,b]$，使

推论：
若 $f$ 单调递减、非负，且 $f(b)=0$，则存在 $\xi\in[a,b]$，使

一般情形应使用上一条含 $f(a)$ 与 $f(b)$ 的完整公式。

本章例题#

例 1：求 $F'(x)$，其中

解：由微积分基本定理，

例 2：设

求 $F'(x)$。

解：

例 3：求

解：这是 $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上的 Riemann 和，故极限为

例 4：计算

解：分部积分得

定积分的应用#

面积#

曲边梯形面积：

两曲线之间面积：

极坐标面积：

体积#

截面面积法：

旋转体体积：

弧长#

显函数：

参数方程：

时

极坐标：

本章例题#

例 1：求曲线 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成的面积。

解：交点为 $0,1$。在 $[0,1]$ 上 $x\ge x^2$，故

例 2：求极坐标曲线 $r=a$，$0\le\theta\le2\pi$ 围成的面积。

解：

例 3：求 $y=x^2$，$0\le x\le1$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体体积。

解：

例 4：求参数曲线 $x=t$，$y=t^2$，$0\le t\le1$ 的弧长。

解：

反常积分#

无穷积分#

若极限存在且有限，则收敛；否则发散。

Cauchy 准则：

瑕积分#

若 $f$ 在 $a$ 附近无界，则

比较判别#

若 $0\le f\le g$：

• $\int g$ 收敛推出 $\int f$ 收敛；
• $\int f$ 发散推出 $\int g$ 发散。

极限比较：
若

则二者同敛散。

绝对收敛与条件收敛#

若

收敛，则 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 绝对收敛。

绝对收敛必收敛；收敛但不绝对收敛称条件收敛。

Dirichlet 与 Abel 判别法#

Dirichlet 判别：
若

有界，$g(x)$ 单调且 $g(x)\to0$，则

收敛。

Abel 判别：
若 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 收敛，$g$ 单调有界，则

收敛。

本章例题#

例 1：讨论

的敛散性。

解：当 $p\ne1$ 时，

令 $A\to\infty$，可知收敛当且仅当 $p>1$。$p=1$ 时为 $\ln A$，发散。

例 2：讨论

的敛散性。

解：当 $p\ne1$ 时，

令 $\varepsilon\to0+$，可知收敛当且仅当 $p<1$。$p=1$ 时发散。

例 3：证明

收敛但不绝对收敛。

解：$\int_1^A\sin x\,dx$ 有界，$1/x$ 单调趋于 $0$，由 Dirichlet 判别法知积分收敛。另一方面，$|\sin x|/x$ 在每个长度为 $\pi$ 的区间上有与 $1/x$ 同阶的正贡献，可与调和级数比较，故绝对积分发散。

证明与计算模板#

这一部分把分散出现的证明套路集中起来，适合考前按题型复习。

$\varepsilon$-$N$ 证明模板#

目标：证明

步骤：

1. 从 $|a_n-A|$ 出发；
2. 用不等式放缩到容易控制的形式，例如
   $$ |a_n-A|\le \frac{C}{n},\quad |a_n-A|\le \frac{C}{n^p},\quad |a_n-A|\le Cq^n\ (0<q<1). $$
3. 给定 $\varepsilon>0$，反解 $N$；
4. 写出“当 $n>N$ 时”结论。

典型例 1：
证明

解：

给定 $\varepsilon>0$，取

则 $n>N$ 时有

典型例 2：
证明

思路：
令 $b_n=\sqrt[n]{a}-1$。
若 $a>1$，则 $b_n>0$，且

从而

若 $0<a<1$，可对 $1/a$ 使用上面的结论。

用子列证明发散#

证明数列或函数极限不存在，优先找两个子列或两条趋近路径。

数列例：

有

两个子列极限不同，故 $\{a_n\}$ 发散。

函数例：
证明

不存在。取

则

但

单调有界法#

目标：证明数列收敛但不易求极限。

步骤：

1. 证明单调；
2. 证明有界；
3. 由单调有界定理得到收敛；
4. 若有递推关系，令极限为 $L$，两边取极限求 $L$。

典型递推例：
设

常用于构造 $\sqrt a$。证明：

• 先证 $x_n>0$；
• 用 AM-GM 得
  $$ x_{n+1}\ge\sqrt a; $$
• 再证从某项起单调递减：
  $$ x_{n+1}-x_n=\frac{a-x_n^2}{2x_n}\le0; $$
• 故收敛，设极限为 $L$，则
  $$ L=\frac12\left(L+\frac aL\right), $$
  得 $L=\sqrt a$。

函数极限常用方法#

1. 等价无穷小替换：
   $$ \sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}. $$
2. 有理化：
   $$ \sqrt{x+a}-\sqrt{x+b} = \frac{a-b}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}}. $$
3. 取对数：处理幂指函数
   $$ u(x)^{v(x)}=\exp(v(x)\ln u(x)). $$
4. 夹逼：常见于含 $\sin$、$\cos$ 的有界振荡项。
5. Taylor 展开：处理高阶无穷小。

典型例：
求

由

得极限为

典型例：
求

用

得极限为

连续与一致连续题型#

证明连续#

常用方式：

1. 直接用 $\varepsilon$-$\delta$；
2. 用四则运算和复合连续性；
3. 分段函数在分界点单独检查。

分段函数在 $x_0$ 连续需要：

证明不连续#

找左右极限不同、极限不存在，或极限与函数值不等。

证明一致连续#

常用充分条件：

• 闭区间连续；
• Lipschitz 条件：
  $$ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|; $$
• 导数有界。

证明不一致连续#

找两列 $x_n,y_n$，满足

但

典型例：
$f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。取

则

但

中值定理证明不等式#

常见思路：
要证明

或某个不等式，构造辅助函数，再用 Rolle 或 Lagrange 中值定理。

典型例：
证明 $x>0$ 时

令

则

又 $f(0)=0$，故 $x>0$ 时 $f(x)>0$。

典型例：
证明

令

则

且 $f(0)=0$，故结论成立。

Taylor 公式题型#

求极限#

原则：展开到第一个非零项。

例：

由

得极限为

判断极值#

若在 $x_0$ 处

则看第一个非零高阶项。

• $n$ 偶且系数正：极小；
• $n$ 偶且系数负：极大；
• $n$ 奇：不是极值。

证明不等式#

用 Lagrange 余项控制符号。

例：
证明 $x>0$ 时

Taylor：

不定积分计算模板#

换元#

看到复合函数乘导数：

令

例：

分部积分#

适合：

• 多项式 $\times$ 指数；
• 多项式 $\times$ 三角；
• $\ln x$；
• 反三角函数。

例：

令 $u=\ln x$，$dv=dx$，则

三角积分#

常用恒等式：

若 $\sin$ 的奇次幂出现，留一个 $\sin x\,dx$，其余转成 $\cos x$；若 $\cos$ 奇次幂出现，类似处理。

定积分计算模板#

利用对称性#

若 $f$ 为奇函数：

若 $f$ 为偶函数：

若

常用替换 $x=a-t$：

变上限积分求导#

若

则

例：

则

积分和极限#

若出现

通常转为

更一般地：

可积性证明模板#

连续函数可积#

用一致连续性：
给定 $\varepsilon>0$，存在 $\delta$，使 $|x-y|<\delta$ 时

取分割细度小于 $\delta$，得

单调函数可积#

设 $f$ 单调递增。对等分分割，有

令 $n$ 充分大即可。

有限间断点函数可积#

在间断点附近取很小区间，总长度很小；其余闭子区间上连续，从而可积。用上下和控制。

反常积分判别模板#

$p$-积分#

收敛当且仅当

收敛当且仅当

比较判别#

大 $x$ 时若

则 $\int^\infty f$ 收敛。

若对充分大的 $x$ 有

且 $f(x)\ge0$，则 $\int^\infty f$ 发散。

Dirichlet 判别常见例#

收敛但不绝对收敛。

理由：

有界，$1/x$ 单调趋于 $0$。

但

发散。

容易误用的点#

1. 收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。
2. 单调是单调有界定理不可缺少的条件。
3. 函数极限与函数在该点是否定义无关，连续才要求函数值等于极限。
4. 一致连续不是逐点连续；开区间连续不一定一致连续。
5. 可导必连续，连续不一定可导。
6. 在区间上 $f'(x)>0$ 推出严格递增；$f'(x)\ge0$ 只推出单调不减。
7. 洛必达必须先确认是未定式。
8. Taylor 展开要展开到第一个非零项。
9. 可积必有界；无界函数不可能 Riemann 可积，但可能有反常积分。
10. 绝对收敛推出收敛，反过来不成立。

主要定理证明#

确界刻画#

设 $S\ne\varnothing$ 且有上界。证明 $\alpha=\sup S$ 当且仅当：

1. $x\le\alpha$ 对一切 $x\in S$ 成立；
2. 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $x_\varepsilon\in S$，使 $\alpha-\varepsilon<x_\varepsilon\le\alpha$。

证明：
若 $\alpha=\sup S$，则 $\alpha$ 是上界，所以第一条成立。若第二条不成立，则存在 $\varepsilon_0>0$，使所有 $x\in S$ 都满足 $x\le\alpha-\varepsilon_0$。于是 $\alpha-\varepsilon_0$ 也是上界，且小于 $\alpha$，与 $\alpha$ 是最小上界矛盾。

反过来，若两条成立，则 $\alpha$ 是上界。任取 $\beta<\alpha$，令 $\varepsilon=\alpha-\beta>0$，由第二条存在 $x_\varepsilon\in S$ 使 $x_\varepsilon>\beta$，所以 $\beta$ 不是上界。因此没有小于 $\alpha$ 的上界，$\alpha=\sup S$。

下确界的证明完全类似，把不等号方向反过来即可。

数列极限的唯一性、有界性与保序性#

唯一性证明：
若 $a_n\to a$ 且 $a_n\to b$，对任意 $\varepsilon>0$，取 $N$，使 $n>N$ 时

于是

由 $\varepsilon$ 任意得 $a=b$。

有界性证明：
由 $a_n\to a$，取 $\varepsilon=1$，存在 $N$，使 $n>N$ 时 $|a_n-a|<1$，故 $|a_n|\le |a|+1$。前 $N$ 项只有有限个，令

则对一切 $n$ 有 $|a_n|\le M$。

保序性证明：
若从某项起 $a_n\le b_n$，且 $a_n\to a$、$b_n\to b$。若 $a>b$，取 $\varepsilon=(a-b)/3$。充分大时

而 $a-\varepsilon>b+\varepsilon$，所以 $a_n>b_n$，与 $a_n\le b_n$ 矛盾。因此 $a\le b$。

夹逼定理#

设从某项起

给定 $\varepsilon>0$，充分大时

因此 $|c_n-A|<\varepsilon$，故 $c_n\to A$。

单调有界定理#

设 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界。令

由上确界刻画，给定 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使

当 $n\ge N$ 时，由单调性

所以 $|a_n-\alpha|<\varepsilon$。故 $a_n\to\alpha$。单调递减有下界的情形同理，极限为下确界。

Cauchy 收敛准则#

收敛推出 Cauchy：
若 $a_n\to a$，给定 $\varepsilon>0$，取 $N$，使 $n>N$ 时 $|a_n-a|<\varepsilon/2$。则 $m,n>N$ 时

Cauchy 推出收敛：
先取 $\varepsilon=1$，知从某项起 $|a_n-a_N|<1$，所以数列有界。由致密性定理，存在子列 $a_{n_k}\to a$。再由 Cauchy 性，给定 $\varepsilon>0$，取 $N$，使 $m,n>N$ 时 $|a_m-a_n|<\varepsilon/2$；又取 $k$ 使 $n_k>N$ 且 $|a_{n_k}-a|<\varepsilon/2$。于是 $n>N$ 时

故 $a_n\to a$。

Heine 归结原则#

设 $f$ 在 $x_0$ 去心邻域内有定义。

若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，则对任意 $x_n\ne x_0$ 且 $x_n\to x_0$，由极限定义可知 $f(x_n)\to A$。

反过来，若对任意 $x_n\ne x_0$ 且 $x_n\to x_0$ 都有 $f(x_n)\to A$，但函数极限不等于 $A$，则存在 $\varepsilon_0>0$，使任意 $\delta>0$，都能找到 $x$ 满足

令 $\delta=1/n$，可取 $x_n$ 满足上述条件。则 $x_n\to x_0$，但 $f(x_n)$ 不趋于 $A$，矛盾。

闭区间连续函数的有界性与最值定理#

有界性证明：
若 $f\in C[a,b]$ 但无界，则对每个 $n$，存在 $x_n\in[a,b]$ 使 $|f(x_n)|>n$。由致密性定理，$\{x_n\}$ 有子列 $x_{n_k}\to x_0\in[a,b]$。连续性给出 $f(x_{n_k})\to f(x_0)$，从而该子列函数值有界，与 $|f(x_{n_k})|>n_k$ 矛盾。

最值定理证明：
由有界性，令 $M=\sup f([a,b])$。按上确界刻画，存在 $x_n\in[a,b]$，使 $f(x_n)>M-1/n$。取收敛子列 $x_{n_k}\to x_0\in[a,b]$。由连续性

故最大值取得。最小值对 $-f$ 使用同样结论。

零点定理与介值定理#

零点定理证明：
设 $f(a)<0<f(b)$。令

$S$ 非空且有上界，设 $\xi=\sup S$。若 $f(\xi)>0$，由连续性，$\xi$ 左侧足够近处也有 $f>0$，与 $\xi$ 是 $S$ 的上确界矛盾。若 $f(\xi)<0$，由连续性，$\xi$ 右侧足够近处也有 $f<0$，与 $\xi$ 是上界矛盾。因此 $f(\xi)=0$。

介值定理证明：
若 $C$ 介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间，令 $g(x)=f(x)-C$。则 $g$ 连续且两端异号，由零点定理存在 $\xi$ 使 $g(\xi)=0$，即 $f(\xi)=C$。

Cantor 一致连续定理#

若 $f\in C[a,b]$ 但不一致连续，则存在 $\varepsilon_0>0$，对任意 $n$，可取 $x_n,y_n\in[a,b]$，使

由致密性定理，取子列 $x_{n_k}\to x_0\in[a,b]$。又

所以 $y_{n_k}\to x_0$。连续性给出

从而 $|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\to0$，矛盾。

Rolle 定理、Lagrange 中值定理与 Cauchy 中值定理#

Rolle 定理证明：
由最值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上取到最大值和最小值。若最大值等于最小值，则 $f$ 为常数，任取 $\xi\in(a,b)$ 有 $f'(\xi)=0$。否则最大值或最小值至少有一个在内部点取得。设内部极值点为 $\xi$，由 Fermat 定理得 $f'(\xi)=0$。

Lagrange 中值定理证明：
构造

则 $F\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，且 $F(a)=F(b)$。由 Rolle 定理，存在 $\xi$ 使 $F'(\xi)=0$，即

Cauchy 中值定理证明：
构造

则 $F(a)=F(b)=0$。由 Rolle 定理存在 $\xi$ 使 $F'(\xi)=0$，即

若 $g'(\xi)\ne0$，整理得结论。

Taylor 公式#

Peano 余项证明：
设

令 $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$。则 $R_n(x_0)=R_n'(x_0)=\cdots=R_n^{(n)}(x_0)=0$。对 $R_n(x)/(x-x_0)^n$ 连续使用洛必达法则 $n$ 次，得到

即 $R_n(x)=o((x-x_0)^n)$。

Lagrange 余项证明：
设 $x\ne x_0$，令

构造

则 $F(x_0)=F'(x_0)=\cdots=F^{(n)}(x_0)=0$ 且 $F(x)=0$。连续使用 Rolle 定理 $n+1$ 次，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使 $F^{(n+1)}(\xi)=0$。整理得

区间套定理与聚点定理#

区间套定理证明：
设 $[a_n,b_n]$ 递减且 $b_n-a_n\to0$。由单调性，$\{a_n\}$ 单调递增且有上界，故收敛到 $\alpha$；$\{b_n\}$ 单调递减且有下界，故收敛到 $\beta$。又

所以 $\alpha=\beta$。记公共极限为 $\xi$，则对每个 $n$ 有 $a_n\le \xi\le b_n$。若还有 $\eta$ 属于所有区间，则 $|\eta-\xi|\le b_n-a_n$ 对一切 $n$ 成立，令 $n\to\infty$ 得 $\eta=\xi$。

聚点定理证明：
对有界无限点集 $S$，取闭区间 $[a,b]$ 包含 $S$。把区间二等分，至少有一半含有 $S$ 的无限多个点，取这一半为 $[a_1,b_1]$。反复二分，得到区间套 $[a_n,b_n]$，每个区间都含有 $S$ 的无限多个点，且长度趋于 $0$。由区间套定理存在唯一 $\xi$ 属于所有区间。任意邻域内包含某个 $[a_n,b_n]$，其中有无限多个 $S$ 中的点，故 $\xi$ 是聚点。

Riemann 可积的常用充分条件#

连续函数可积：
由 Cantor 定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta$，使 $|x-y|<\delta$ 时

当分割 $T$ 的细度小于 $\delta$ 时，每个小区间上的振幅小于 $\varepsilon/(b-a)$，所以

故 $f$ 可积。

单调函数可积：
设 $f$ 单调递增。取等分分割，$\Delta x=(b-a)/n$。则

令 $n$ 足够大，即可使上、下和之差小于任意 $\varepsilon$，故可积。单调递减同理。

微积分基本定理#

设

若 $f$ 在 $x$ 处连续，则

再减去 $f(x)$，得

由 $f$ 在 $x$ 处连续，右端随 $h\to0$ 趋于 $0$，所以 $F'(x)=f(x)$。

若 $f\in C[a,b]$ 且 $\Phi'=f$，则 $F-\Phi$ 导数恒为 $0$，故 $F-\Phi$ 为常数。于是

反常积分的比较判别与 Dirichlet 判别#

比较判别证明：
若 $0\le f\le g$，且 $\int_a^\infty g$ 收敛，则对 $A>B>a$，

由 $g$ 的 Cauchy 准则，右端可任意小，故 $\int_a^\infty f$ 收敛。若 $\int f$ 发散而 $\int g$ 收敛，则刚证出的结论会推出 $\int f$ 收敛，矛盾；故 $\int g$ 发散。

Dirichlet 判别证明：
设 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 有界，$g$ 单调趋于 $0$。对 $A<B$ 作分部积分：

若 $|F|\le M$，利用 $g$ 单调且趋于 $0$，可得尾积分绝对值由 $C|g(A)|$ 控制，随 $A\to\infty$ 趋于 $0$。由 Cauchy 准则，积分收敛。

附件#