数学分析 I

实数、确界与函数#

实数集的基本性质#

实数集 $\mathbb R$ 的常用性质：

1. 有序性：任意 $a,b\in\mathbb R$ 可比较大小。 2. 传递性：若 $a>b$，$b>c$，则 $a>c$。 3. 阿基米德性：若 $a>0$，$b\in\mathbb R$，则存在 $n\in\mathbb N$，使 $$ na>b. $$ 4. 稠密性：任意两个不同实数之间都有有理数，也都有无理数。 5. 数轴对应：实数与数轴上的点一一对应。 6. 完备性：用确界原理、区间套定理、单调有界定理等形式表达。

补充：

• $\mathbb Q$ 与无理数集在 $\mathbb R$ 中都稠密。
• “若对任意 $\varepsilon>0$，$|a-b|<\varepsilon$，则 $a=b$”是常用证明技巧。

邻域#

点 $a$ 的 $\delta$ 邻域： $$ U(a,\delta)=\{x:|x-a|<\delta\}. $$

空心邻域： $$ U^\circ(a,\delta)=\{x:0<|x-a|<\delta\}. $$

左右邻域： $$ U_+(a,\delta)=(a,a+\delta),\qquad U_-(a,\delta)=(a-\delta,a). $$

无穷远邻域： $$ U(+\infty)=\{x:x>M\},\qquad U(-\infty)=\{x:x<-M\}. $$

上界、下界、确界#

设 $S\subset\mathbb R$，$S\ne\varnothing$。

若存在 $M$，使对一切 $x\in S$ 有 $x\le M$，则称 $S$ 有上界，$M$ 是上界。下界类似。

$\alpha=\sup S$ 当且仅当：

1. 对一切 $x\in S$，有 $x\le\alpha$； 2. 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $x_\varepsilon\in S$，使 $$ \alpha-\varepsilon<x_\varepsilon\le\alpha. $$

$\beta=\inf S$ 当且仅当：

1. 对一切 $x\in S$，有 $\beta\le x$； 2. 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $x_\varepsilon\in S$，使 $$ \beta\le x_\varepsilon<\beta+\varepsilon. $$

确界原理#

非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界。

例题类型：

1. 证明 $\mathbb N^+$ 有下界但无上界。 2. 若 $A,B$ 非空且对任意 $x\in A,y\in B$ 有 $x\le y$，则 $$ \sup A\le \inf B. $$ 若还满足分割条件，可得到 $\sup A=\inf B$。 3. 若 $S$ 有最大元，则 $\sup S=\max S$。 4. 若 $S$ 无上界，记 $\sup S=+\infty$；若无下界，记 $\inf S=-\infty$。

函数与函数有界性#

若 $X,Y\subseteq\mathbb R$，映射 $$ f:X\to Y $$ 称为定义在 $X$ 上、取值于 $Y$ 的函数。

函数有界： $$ \exists M>0,\ \forall x\in D,\quad |f(x)|\le M. $$

上无界： $$ \forall M>0,\ \exists x\in D,\quad f(x)>M. $$

常见例子：

- Dirichlet 函数 $$ D(x)= \begin{cases} 1,&x\in\mathbb Q,\\ 0,&x\notin\mathbb Q. \end{cases} $$ - 分段函数与符号函数 $\operatorname{sgn}x$，后面用于讨论极限与连续。

本章例题#

例 1：证明 $\mathbb N^+$ 有下界但无上界。

解：对任意 $n\in\mathbb N^+$，有 $n\ge1$，所以 $1$ 是下界。若存在上界 $M$，由阿基米德性可取 $n\in\mathbb N^+$ 使 $n>M$，矛盾。因此 $\mathbb N^+$ 无上界。

例 2：设 $A,B$ 非空，且对任意 $x\in A,y\in B$ 有 $x\le y$。证明 $$ \sup A\le \inf B. $$

解：任取 $y\in B$，由条件知 $y$ 是 $A$ 的上界，所以 $\sup A\le y$。于是 $\sup A$ 是 $B$ 的下界，故 $\sup A\le\inf B$。

例 3：若 $S$ 有最大元 $m$，证明 $\sup S=m$。

解：对任意 $x\in S$ 有 $x\le m$，所以 $m$ 是上界。又 $m\in S$，任何小于 $m$ 的数都不是上界，因此 $m$ 是最小上界。

数列极限#

数列与极限定义#

数列是定义在正整数集上的函数： $$ a:\mathbb N^+\to\mathbb R,\qquad n\mapsto a_n. $$

极限定义： $$ \lim_{n\to\infty}a_n=a $$ 当且仅当 $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n>N,\quad |a_n-a|<\varepsilon. $$

否定形式： $$ a_n\not\to a $$ 当且仅当 $$ \exists \varepsilon_0>0,\ \forall N,\ \exists n>N,\quad |a_n-a|\ge\varepsilon_0. $$

发散： $$ \forall a\in\mathbb R,\quad a_n\not\to a. $$

极限证明模板#

证明 $a_n\to a$ 的标准步骤：

1. 估计 $|a_n-a|$；
2. 将其放缩为某个关于 $n$ 的简单表达式；
3. 给定 $\varepsilon>0$，反解出 $n>N(\varepsilon)$；
4. 取合适 $N$。

- 证明 $\frac1n\to0$： 给定 $\varepsilon>0$，取 $N>\frac1\varepsilon$，则 $n>N$ 时 $$ \left|\frac1n-0\right|<\varepsilon. $$ - 证明 $\sqrt[n]{a}\to1$（$a>0$）：可用对数或 Bernoulli 不等式。 - 证明含根式、有理式的数列极限：先有理化或同除最高阶。

收敛数列的性质#

唯一性#

若 $a_n\to a$ 且 $a_n\to b$，则 $a=b$。

证明： 给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使 $$ |a_n-a|<\varepsilon,\qquad |a_n-b|<\varepsilon. $$ 则 $$ |a-b|\le |a-a_n|+|a_n-b|<2\varepsilon. $$ 由 $\varepsilon$ 任意得 $a=b$。

有界性#

收敛数列必有界。

证明：
取 $\varepsilon=1$，从某项起 $|a_n-a|<1$，前面有限项取最大值即可。

保号性#

若 $a_n\to a>0$，则从某项起 $a_n>0$。取 $\varepsilon=a/2$。

保序性#

若 $a_n\to a$，$b_n\to b$，且从某项起 $a_n\le b_n$，则 $$ a\le b. $$

夹逼定理#

若 $$ a_n\le c_n\le b_n,\qquad a_n\to A,\quad b_n\to A, $$ 则 $$ c_n\to A. $$

四则运算#

若 $a_n\to a$，$b_n\to b$，则 $$ a_n\pm b_n\to a\pm b,\qquad a_nb_n\to ab. $$ 若 $b\ne0$ 且 $b_n\ne0$ 从某项起成立，则 $$ \frac{a_n}{b_n}\to\frac ab. $$

子列#

设 $n_1<n_2<\cdots$，则 $\{a_{n_k}\}$ 是 $\{a_n\}$ 的子列。

定理： $$ a_n\to a \quad\Longleftrightarrow\quad \text{任意子列 } a_{n_k}\to a. $$

推论：

• 若存在两个子列极限不同，则原数列发散。
• 若所有子列都有同一极限，则原数列收敛。

例子：

• $a_n=(-1)^n$ 有子列 $a_{2k}=1$ 与 $a_{2k-1}=-1$，故发散。
• 若 $a_{2n}\to a$，$a_{2n-1}\to a$，则 $a_n\to a$。

单调有界定理#

单调递增且有上界的数列必收敛，且 $$ \lim a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb N^+\}. $$

单调递减且有下界的数列必收敛，且极限为下确界。

证明： 令 $\alpha=\sup\{a_n\}$。由上确界定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使 $$ \alpha-\varepsilon<a_N\le\alpha. $$ 单调递增给出 $n>N$ 时 $$ \alpha-\varepsilon<a_N\le a_n\le\alpha, $$ 故 $|a_n-\alpha|<\varepsilon$。

致密性定理与 Cauchy 收敛准则#

致密性定理：
任意有界数列必存在收敛子列。

Cauchy 收敛准则： $$ \{a_n\}\text{ 收敛} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall m,n>N,\ |a_m-a_n|<\varepsilon. $$

证明：

• 收敛推出 Cauchy：用三角不等式。
• Cauchy 推出收敛：先证明有界，再由致密性定理取收敛子列，最后用 Cauchy 性把全数列拉到同一极限。

Stolz 定理与常用极限#

Stolz 定理： 设 $b_n$ 严格递增且 $b_n\to+\infty$。若极限 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=L, $$ 存在于扩充实数意义下，则 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L. $$

常见应用：

- 算术平均： 若 $a_n\to a$，则 $$ \frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\to a. $$ - 幂平均与根式极限。 - $1+\frac12+\cdots+\frac1n$ 与 $\ln n$ 的比较。

若 $a_n>0$ 且 $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}\to l, $$ 其中 $0\le l<+\infty$，则 $$ \sqrt[n]{a_n}\to l. $$

本章例题#

例 1：证明 $\frac1n\to0$。

解：给定 $\varepsilon>0$，取 $N>1/\varepsilon$。当 $n>N$ 时， $$ \left|\frac1n-0\right|=\frac1n<\varepsilon. $$

例 2：证明 $\sqrt[n]{a}\to1$，其中 $a>0$。

解：若 $a>1$，令 $b_n=\sqrt[n]{a}-1>0$。由 Bernoulli 不等式， $$ a=(1+b_n)^n\ge1+nb_n, $$ 故 $$ 0<b_n\le\frac{a-1}{n}\to0. $$ 若 $0<a<1$，对 $1/a$ 使用上面的结论，再取倒数即可。

例 3：证明 $a_n=(-1)^n$ 发散。

解：$a_{2n}=1$，$a_{2n-1}=-1$，两个子列极限不同，所以原数列发散。

例 4：若 $a_n\to a$，证明 $$ \frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\to a. $$

解：令 $s_n=a_1+\cdots+a_n$。由 Stolz 定理， $$ \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n} =\lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) =\lim_{n\to\infty}a_n=a. $$

例 5：设 $$ x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right),\qquad x_1>0,\ a>0. $$ 证明 $x_n\to\sqrt a$。

解：由 AM-GM 知 $x_{n+1}\ge\sqrt a$。当 $n\ge2$ 时， $$ x_{n+1}-x_n=\frac{a-x_n^2}{2x_n}\le0. $$ 故 $\{x_n\}_{n\ge2}$ 单调递减且有下界，因而收敛。设极限为 $L>0$，代入递推式得 $$ L=\frac12\left(L+\frac aL\right), $$ 所以 $L=\sqrt a$。

函数极限#

函数极限定义#

若 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，则 $$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A $$ 当且仅当 $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon. $$

左右极限： $$ \lim_{x\to x_0+}f(x),\qquad \lim_{x\to x_0-}f(x). $$ 双侧极限存在当且仅当左右极限存在且相等。

无穷远处极限： $$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=A \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0,\ \exists M,\ x>M\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon. $$

极限与函数在点处取值无关#

函数极限只依赖于去心邻域中的函数值，与 $f(x_0)$ 是否定义、取什么值无关。

例子：

- $\operatorname{sgn}x$ 在 $0$ 处左右极限不同，双侧极限不存在。 - $f(x)=\sin\frac1x$ 在 $x\to0$ 时不存在极限，可取 $$ x_n=\frac1{2n\pi+\pi/2},\qquad y_n=\frac1{2n\pi+3\pi/2} $$ 得到函数值分别趋向 $1$ 与 $-1$。

Heine 归结原则#

设 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。则 $$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A $$ 当且仅当对任意 $x_n$ 满足 $x_n\ne x_0$ 且 $x_n\to x_0$，都有 $$ f(x_n)\to A. $$

用途：

1. 证明极限存在：转化为任意数列。
2. 证明极限不存在：找两条趋向同一点的数列，使函数值极限不同。

Cauchy 准则#

函数极限存在当且仅当： $$ \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0, $$ 只要 $x',x''\in U^\circ(x_0,\delta)$，就有 $$ |f(x')-f(x'')|<\varepsilon. $$

两个重要极限#

常用推论： $$ \sin x\sim x,\qquad \tan x\sim x,\qquad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}. $$

第二重要极限： $$ \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e, $$ 也可写为 $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e. $$

无穷小、无穷大与等价#

无穷小： $$ \alpha(x)\to0. $$

无穷大： $$ |\beta(x)|\to+\infty. $$

若 $$ \frac{\alpha}{\beta}\to1, $$ 则 $$ \alpha\sim\beta. $$

常用等价无穷小： $$ \sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad \ln(1+x)\sim x,\quad e^x-1\sim x, $$ $$ (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x,\quad 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}. $$

渐近线#

垂直渐近线： 若 $$ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty, $$ 则 $x=x_0$ 为垂直渐近线。

水平渐近线： 若 $$ \lim_{x\to\infty}f(x)=b, $$ 则 $y=b$ 为水平渐近线。

斜渐近线： 若存在 $k,b$，使 $$ \lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-kx-b\bigr)=0, $$ 则 $y=kx+b$ 为斜渐近线，其中 $$ k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x,\qquad b=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr). $$

本章例题#

例 1：讨论 $\operatorname{sgn}x$ 在 $0$ 处的极限。

解：$x\to0+$ 时函数值为 $1$，$x\to0-$ 时函数值为 $-1$。左右极限不同，所以双侧极限不存在。

例 2：证明 $\lim_{x\to0}\sin\frac1x$ 不存在。

解：取 $$ x_n=\frac1{2n\pi+\pi/2},\qquad y_n=\frac1{2n\pi+3\pi/2}. $$ 则 $x_n,y_n\to0$，但 $$ \sin\frac1{x_n}=1,\qquad \sin\frac1{y_n}=-1. $$ 由 Heine 归结原则，极限不存在。

例 3：求 $$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}. $$

解：由 $1-\cos x\sim x^2/2$，极限为 $1/2$。

例 4：求曲线 $$ y=x+\frac1x $$ 当 $x\to+\infty$ 时的斜渐近线。

解： $$ k=\lim_{x\to+\infty}\frac{y}{x}=1,\qquad b=\lim_{x\to+\infty}(y-x)=0. $$ 故斜渐近线为 $y=x$。

连续函数#

连续定义#

$f$ 在 $x_0$ 连续，当且仅当：

1. $f(x_0)$ 有定义；
2. $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在；
3. $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

等价 $\varepsilon$-$\delta$ 形式： $$ \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. $$

间断点分类#

1. 可去间断点：极限存在，但函数值缺失或不等于极限。
2. 跳跃间断点：左右极限存在且有限，但不相等。
3. 第二类间断点：至少一个单侧极限不存在或为无穷。

例子：

• $\operatorname{sgn}x$ 在 $0$ 处是跳跃间断点。
• $\sin\frac1x$ 在 $0$ 处是第二类间断点。
• 改变一点函数值，只会产生或消除可去间断点。

连续函数运算#

若 $f,g$ 在 $x_0$ 连续，则 $$ f\pm g,\quad fg $$ 在 $x_0$ 连续；若 $g(x_0)\ne0$，则 $$ \frac fg $$ 在 $x_0$ 连续。

若 $g$ 在 $x_0$ 连续，$f$ 在 $g(x_0)$ 连续，则 $f\circ g$ 在 $x_0$ 连续。

初等函数在其定义域内连续。

闭区间连续函数性质#

有界性定理：
若 $f\in C[a,b]$，则 $f$ 有界。

最值定理： 若 $f\in C[a,b]$，则存在 $\xi,\eta\in[a,b]$，使 $$ f(\xi)=\max f,\qquad f(\eta)=\min f. $$

零点定理： 若 $f\in C[a,b]$，且 $f(a)f(b)<0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$ f(\xi)=0. $$

介值定理：
若 $f\in C[a,b]$，则 $f$ 取遍 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值。

证明：

• 有界性与最值定理常用致密性定理反证。
• 零点定理可用区间套或确界法。
• 介值定理可转化为零点定理，令 $g(x)=f(x)-C$。

一致连续#

$f$ 在 $D$ 上一致连续： $$ \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad x,y\in D,\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon. $$

与逐点连续的区别：一致连续中的 $\delta$ 只依赖 $\varepsilon$，不依赖具体点。

Cantor 定理：
若 $f\in C[a,b]$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

常用判别：

• Lipschitz 条件推出一致连续；
• 若 $f'$ 在区间上有界，则 $f$ 在该区间上一致连续；
• 在有限开区间 $(a,b)$ 上，若 $f(a+)$、$f(b-)$ 存在且有限，通常可延拓到闭区间，从而一致连续。

例子：

• $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。
• $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上连续但不一致连续。

反函数连续性#

若 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调且连续，则反函数 $f^{-1}$ 在 $f(I)$ 上连续，且单调性与 $f$ 相同。

证明：
用介值性和严格单调性证明反函数的邻域控制。

本章例题#

例 1：讨论 $$ f(x)= \begin{cases} \frac{\sin x}{x},&x\ne0,\\ 0,&x=0 \end{cases} $$ 在 $0$ 处的连续性。

解：因为 $$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\ne f(0), $$ 所以 $f$ 在 $0$ 处不连续，且是可去间断点。

例 2：证明 $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。

解：取 $$ x_n=\frac1n,\qquad y_n=\frac1{n+1}. $$ 则 $|x_n-y_n|\to0$，但 $$ |f(x_n)-f(y_n)|=1. $$ 故不一致连续。

例 3：证明 $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上连续但不一致连续。

解：取 $x_n=n$，$y_n=n+1/n$。则 $|x_n-y_n|\to0$，但 $$ |f(x_n)-f(y_n)| =\left|n^2-\left(n+\frac1n\right)^2\right| =2+\frac1{n^2}\not\to0. $$

导数与微分#

导数定义#

等价写法： $$ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. $$

左右导数： $$ f'_+(x_0),\qquad f'_-(x_0). $$ 可导当且仅当左右导数存在且相等。

可导必连续，连续不一定可导。

例子：

• $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续但不可导；
• 分段函数在分界点处需要分别检查连续性、左右导数。

求导法则#

复合函数： $$ (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x). $$

反函数： 若 $f$ 在 $x_0$ 的邻域内连续严格单调、可导，且 $f'(x_0)\ne0$，令 $y_0=f(x_0)$，则 $$ (f^{-1})'(y_0)=\frac1{f'(x_0)}. $$

参数方程： 若 $x=x(t)$，$y=y(t)$，且 $x'(t)\ne0$，则 $$ \frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}. $$

高阶导数#

递推定义： $$ f^{(n)}=(f^{(n-1)})'. $$

Leibniz 公式： $$ (uv)^{(n)} =\sum_{k=0}^{n}\binom nk u^{(k)}v^{(n-k)}. $$

微分#

$f$ 在 $x_0$ 可微，当且仅当 $$ f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x). $$ 此时 $A=f'(x_0)$，并记 $$ dy=f'(x_0)\,dx. $$

可微与可导等价（一元函数情形）。

微分法则： $$ d(u\pm v)=du\pm dv, $$ $$ d(uv)=u\,dv+v\,du, $$ $$ d\left(\frac uv\right)=\frac{v\,du-u\,dv}{v^2}. $$

本章例题#

例 1：证明 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处不可导。

解： $$ \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h}. $$ 当 $h\to0+$ 时极限为 $1$，当 $h\to0-$ 时极限为 $-1$，左右导数不同。

例 2：求 $y=\arctan x$ 的导数。

解：令 $x=\tan y$，则 $$ \frac{dx}{dy}=\sec^2y=1+\tan^2y=1+x^2. $$ 所以 $$ \frac{dy}{dx}=\frac1{1+x^2}. $$

例 3：设 $x=t^2$，$y=t^3$。当 $t\ne0$ 时求 $dy/dx$。

解： $$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3t^2}{2t}=\frac32t. $$

例 4：求 $(x^2e^x)'$。

解： $$ (x^2e^x)'=2xe^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x. $$

微分中值定理、Taylor 公式与凸性#

Fermat 定理#

若 $f$ 在 $x_0$ 可导，且 $x_0$ 是局部极值点，则 $$ f'(x_0)=0. $$

注意：$f'(x_0)=0$ 只是极值的必要条件，不是充分条件。

Rolle 定理#

若 $f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$ f'(\xi)=0. $$

Lagrange 中值定理#

若 $f\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a). $$

推论：

• 若 $f'=0$，则 $f$ 为常数；
• 若 $f'>0$，则 $f$ 严格递增；
• 若 $f'<0$，则 $f$ 严格递减；
• 若 $f'\ge0$，则 $f$ 单调不减。

Darboux 定理#

导函数具有介值性。也就是说，导函数即使不连续，也不能有跳跃间断。

Cauchy 中值定理#

若 $f,g\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，且 $g'(x)\ne0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. $$

L'Hospital 法则#

对 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型，若 $f,g$ 在相应去心邻域内可导，$g'\ne0$，且 $$ \lim\frac{f'}{g'}=L, $$ 同时分母 $g$ 在去心邻域内不为 $0$，则在常用的洛必达条件下 $$ \lim\frac fg=L. $$

使用流程：

1. 先判定是否为未定式；
2. 检查 $g'\ne0$；
3. 求导后极限存在；
4. 必要时可多次使用，但每次都要重新检查未定式。

Taylor 公式#

Peano 余项： 若 $f$ 在 $x_0$ 处存在 $n$ 阶导数，则 $$ f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +o((x-x_0)^n). $$

Lagrange 余项： 若 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间有相应的 $n+1$ 阶导数，则存在介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使 $$ f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}. $$

常用 Maclaurin 展开：

极值判别#

第一充分条件：
若 $f'$ 在 $x_0$ 两侧变号，则 $x_0$ 为极值点。

第二充分条件： 若 $$ f'(x_0)=0,\qquad f''(x_0)>0, $$ 则 $x_0$ 为极小值点；若 $f''(x_0)<0$，则为极大值点。

高阶判别： 若 $$ f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,\qquad f^{(n)}(x_0)\ne0, $$ 则 $n$ 偶时有极值，$n$ 奇时无极值。

凸函数#

定义： $$ f(\lambda x+(1-\lambda)y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y). $$

可导判别： 若 $f$ 在区间内可导，则 $f$ 凸当且仅当图像在任一点切线之上： $$ f(y)\ge f(x)+f'(x)(y-x). $$

二阶判别： 若 $f$ 在区间内二阶可导，则 $$ f''(x)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad f \text{ 凸}. $$

Jensen 不等式： 若 $f$ 凸，$\lambda_i\ge0$，$\sum\lambda_i=1$，则 $$ f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_i). $$

拐点：
若曲线在 $x_0$ 两侧凹凸性发生改变，则 $x_0$ 为拐点候选。若 $f''$ 在 $x_0$ 两侧变号，通常可判定为拐点。

本章例题#

例 1：证明 $x>0$ 时 $\ln(1+x)<x$。

解：令 $f(x)=x-\ln(1+x)$，则 $$ f'(x)=1-\frac1{1+x}=\frac{x}{1+x}>0. $$ 又 $f(0)=0$，所以 $x>0$ 时 $f(x)>0$。

例 2：证明 $x>0$ 时 $\sin x<x$。

解：令 $f(x)=x-\sin x$。则 $$ f'(x)=1-\cos x\ge0,\qquad f(0)=0. $$ 故 $f(x)\ge0$。当 $x>0$ 时不恒等取零，因此 $\sin x<x$。

例 3：求 $$ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}. $$

解：由 $$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2), $$ 得极限为 $1/2$。

例 4：求 $$ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}. $$

解：由 $$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3), $$ 得极限为 $1/3$。

例 5：讨论 $f(x)=x^3$ 在 $0$ 处是否有极值。

解：虽然 $f'(0)=0$，但 $f'(x)=3x^2\ge0$，函数在 $0$ 两侧均单调不减，没有极大或极小。

实数完备性几个定理#

区间套定理#

若 $$ [a_1,b_1]\supseteq [a_2,b_2]\supseteq\cdots, $$ 且 $$ b_n-a_n\to0, $$ 则存在唯一 $\xi$，使 $$ \xi\in[a_n,b_n]\quad(n=1,2,\dots). $$

聚点定理#

点 $\xi$ 是点集 $S$ 的聚点，若任意邻域内都含有 $S$ 中异于 $\xi$ 的点。

等价表述： 存在 $S$ 中互异点列 $x_n$，使 $$ x_n\to\xi. $$

Weierstrass 聚点定理：
有界无限点集必有聚点。

Heine-Borel 有限覆盖定理#

闭区间 $[a,b]$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖。

证明通常使用区间套定理反证。

本章例题#

例 1：设 $$ I_n=\left[0,\frac1n\right]. $$ 求这个区间套确定的点。

解：$I_1\supset I_2\supset\cdots$，且长度 $1/n\to0$。公共点唯一，为 $0$。

例 2：求 $$ S=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N^+\right\} $$ 的聚点。

解：$0$ 的任意邻域中都有足够大的 $1/n$，故 $0$ 是聚点。其他点附近只能含有限个 $S$ 中的点，不是聚点。

例 3：说明 $(0,1)$ 的开覆盖不一定有有限子覆盖。

解：取 $$ \mathcal U=\left\{\left(\frac1n,1\right):n=2,3,\dots\right\}. $$ 它覆盖 $(0,1)$。任取有限多个，其中最小左端点为 $1/N$，则 $(0,1/N]$ 未被覆盖。

不定积分#

原函数与不定积分#

若 $F'=f$，则 $F$ 是 $f$ 的原函数。

不定积分： $$ \int f(x)\,dx=F(x)+C. $$

若 $F,G$ 都是 $f$ 的原函数，则 $F-G$ 为常数。

几何意义：
不定积分代表积分曲线族，曲线之间相差一个竖直平移。

基本积分表#

换元积分法#

第一换元法： $$ \int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx = \int f(u)\,du,\qquad u=\varphi(x). $$

第二换元法： 令 $x=\varphi(t)$，则 $$ \int f(x)\,dx= \int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt. $$

分部积分法#

常见应用：

• $\int x e^x dx$；
• $\int x\sin x dx$；
• $\int \ln x dx$；
• $\int \arctan x dx$；
• $\int \sin^m x\cos^n x dx$ 的递推。

本章例题#

例 1：求 $$ \int \frac{2x}{1+x^2}\,dx. $$

解：令 $u=1+x^2$，则 $$ \int \frac{2x}{1+x^2}\,dx=\int\frac1u\,du=\ln(1+x^2)+C. $$

例 2：求 $\int\ln x\,dx$，其中 $x>0$。

解：令 $u=\ln x$，$dv=dx$，则 $$ \int\ln x\,dx=x\ln x-\int1\,dx=x\ln x-x+C. $$

例 3：求 $$ \int\sin^2x\,dx. $$

解：由 $$ \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}, $$ 得 $$ \int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C. $$

定积分#

Riemann 积分定义#

分割： $$ T:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b. $$

小区间长度： $$ \Delta x_i=x_i-x_{i-1}. $$

积分和： $$ \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i,\qquad \xi_i\in[x_{i-1},x_i]. $$

若当 $|T|\to0$ 时积分和极限存在且与分割、取点无关，则 $f$ 可积，记作 $$ \int_a^b f(x)\,dx. $$

可积必要条件与 Darboux 判别#

可积函数必有界。

Darboux 上下和： $$ U(T)=\sum M_i\Delta x_i,\qquad L(T)=\sum m_i\Delta x_i. $$

可积充要条件： $$ \forall\varepsilon>0,\ \exists T,\quad U(T)-L(T)<\varepsilon. $$

常见充分条件：

1. 连续函数可积；
2. 单调函数可积；
3. 有界且仅有限个间断点的函数可积。

例子：

• Dirichlet 函数不可积；
• Riemann 函数类型可积性讨论；
• 单调函数可积证明：利用上、下和差估计。

定积分性质#

线性： $$ \int_a^b(\alpha f+\beta g) = \alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g. $$

区间可加： $$ \int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f. $$

保序： 若 $f\le g$，则 $$ \int_a^b f\le\int_a^b g. $$

绝对值不等式： $$ \left|\int_a^b f\right|\le\int_a^b |f|. $$

积分中值定理#

第一积分中值定理： 若 $f\in C[a,b]$，$g$ 可积且不变号，则存在 $\xi\in[a,b]$，使 $$ \int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx. $$

特别地： $$ \int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a). $$

微积分基本定理#

若 $f$ 可积，定义 $$ F(x)=\int_a^x f(t)\,dt, $$ 则 $F$ 连续。若 $f$ 在 $x$ 处连续，则 $$ F'(x)=f(x). $$

若 $f\in C[a,b]$，$\Phi'=f$，则 $$ \int_a^b f(x)\,dx=\Phi(b)-\Phi(a). $$

- 求 $F(x)=\int_a^x \sin t^2\,dt$ 的导数； - 求 $$ F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)\,dt $$ 的导数： $$ F'(x)=f(\beta(x))\beta'(x)-f(\alpha(x))\alpha'(x). $$

定积分换元与分部积分#

换元： $$ \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt. $$

分部积分： $$ \int_a^b u\,dv =uv\bigg|_a^b-\int_a^b v\,du. $$

积分第二中值定理#

若 $f$ 单调，$g$ 可积，则存在 $\xi\in[a,b]$，使 $$ \int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(a)\int_a^\xi g(x)\,dx +f(b)\int_\xi^b g(x)\,dx. $$

推论： 若 $f$ 单调递减、非负，且 $f(b)=0$，则存在 $\xi\in[a,b]$，使 $$ \int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(a)\int_a^\xi g(x)\,dx. $$ 一般情形应使用上一条含 $f(a)$ 与 $f(b)$ 的完整公式。

本章例题#

例 1：求 $F'(x)$，其中 $$ F(x)=\int_a^x \sin t^2\,dt. $$

解：由微积分基本定理， $$ F'(x)=\sin x^2. $$

例 2：设 $$ F(x)=\int_{x^2}^{\sin x} e^{-t^2}\,dt. $$ 求 $F'(x)$。

解： $$ F'(x)=e^{-\sin^2x}\cos x-2x e^{-x^4}. $$

例 3：求 $$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2. $$

解：这是 $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上的 Riemann 和，故极限为 $$ \int_0^1x^2\,dx=\frac13. $$

例 4：计算 $$ \int_0^\pi x\sin x\,dx. $$

解：分部积分得 $$ \int_0^\pi x\sin x\,dx =-x\cos x\bigg|_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx =\pi. $$

定积分的应用#

面积#

曲边梯形面积： $$ S=\int_a^b f(x)\,dx\qquad(f\ge0). $$

两曲线之间面积： $$ S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx. $$

极坐标面积： $$ S=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta. $$

体积#

截面面积法： $$ V=\int_a^b A(x)\,dx. $$

旋转体体积： $$ V=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx. $$

弧长#

显函数： $$ s=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx. $$

参数方程： $$ x=x(t),\qquad y=y(t) $$ 时 $$ s=\int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt. $$

极坐标： $$ s=\int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}\,d\theta. $$

本章例题#

例 1：求曲线 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成的面积。

解：交点为 $0,1$。在 $[0,1]$ 上 $x\ge x^2$，故 $$ S=\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac16. $$

例 2：求极坐标曲线 $r=a$，$0\le\theta\le2\pi$ 围成的面积。

解： $$ S=\frac12\int_0^{2\pi}a^2\,d\theta=\pi a^2. $$

例 3：求 $y=x^2$，$0\le x\le1$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体体积。

解： $$ V=\pi\int_0^1x^4\,dx=\frac{\pi}{5}. $$

例 4：求参数曲线 $x=t$，$y=t^2$，$0\le t\le1$ 的弧长。

解： $$ s=\int_0^1\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt =\int_0^1\sqrt{1+4t^2}\,dt. $$

反常积分#

无穷积分#

若极限存在且有限，则收敛；否则发散。

Cauchy 准则： $$ \forall\varepsilon>0,\ \exists A,\ \forall A_1,A_2>A,\quad \left|\int_{A_1}^{A_2}f(x)\,dx\right|<\varepsilon. $$

瑕积分#

若 $f$ 在 $a$ 附近无界，则 $$ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to0+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx. $$

比较判别#

若 $0\le f\le g$：

• $\int g$ 收敛推出 $\int f$ 收敛；
• $\int f$ 发散推出 $\int g$ 发散。

极限比较： 若 $$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=c,\qquad0<c<+\infty, $$ 则二者同敛散。

绝对收敛与条件收敛#

若 $$ \int_a^\infty |f(x)|\,dx $$ 收敛，则 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 绝对收敛。

绝对收敛必收敛；收敛但不绝对收敛称条件收敛。

Dirichlet 与 Abel 判别法#

Dirichlet 判别： 若 $$ F(A)=\int_a^A f(x)\,dx $$ 有界，$g(x)$ 单调且 $g(x)\to0$，则 $$ \int_a^\infty f(x)g(x)\,dx $$ 收敛。

Abel 判别： 若 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 收敛，$g$ 单调有界，则 $$ \int_a^\infty f(x)g(x)\,dx $$ 收敛。

本章例题#

例 1：讨论 $$ \int_1^\infty\frac1{x^p}\,dx $$ 的敛散性。

解：当 $p\ne1$ 时， $$ \int_1^A x^{-p}\,dx=\frac{A^{1-p}-1}{1-p}. $$ 令 $A\to\infty$，可知收敛当且仅当 $p>1$。$p=1$ 时为 $\ln A$，发散。

例 2：讨论 $$ \int_0^1\frac1{x^p}\,dx $$ 的敛散性。

解：当 $p\ne1$ 时， $$ \int_\varepsilon^1x^{-p}\,dx=\frac{1-\varepsilon^{1-p}}{1-p}. $$ 令 $\varepsilon\to0+$，可知收敛当且仅当 $p<1$。$p=1$ 时发散。

例 3：证明 $$ \int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx $$ 收敛但不绝对收敛。

解：$\int_1^A\sin x\,dx$ 有界，$1/x$ 单调趋于 $0$，由 Dirichlet 判别法知积分收敛。另一方面，$|\sin x|/x$ 在每个长度为 $\pi$ 的区间上有与 $1/x$ 同阶的正贡献，可与调和级数比较，故绝对积分发散。

证明与计算模板#

这一部分把分散出现的证明套路集中起来，适合考前按题型复习。

$\varepsilon$-$N$ 证明模板#

目标：证明 $$ \lim_{n\to\infty}a_n=A. $$

步骤：

1. 从 $|a_n-A|$ 出发； 2. 用不等式放缩到容易控制的形式，例如 $$ |a_n-A|\le \frac{C}{n},\quad |a_n-A|\le \frac{C}{n^p},\quad |a_n-A|\le Cq^n\ (0<q<1). $$ 3. 给定 $\varepsilon>0$，反解 $N$； 4. 写出“当 $n>N$ 时”结论。

典型例 1： 证明 $$ \frac{2n+1}{n+3}\to2. $$

解： $$ \left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right| =\left|\frac{-5}{n+3}\right| \le\frac5n. $$ 给定 $\varepsilon>0$，取 $$ N>\frac5\varepsilon. $$ 则 $n>N$ 时有 $$ \left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|<\varepsilon. $$

典型例 2： 证明 $$ \sqrt[n]{a}\to1\qquad(a>0). $$

思路： 令 $b_n=\sqrt[n]{a}-1$。 若 $a>1$，则 $b_n>0$，且 $$ a=(1+b_n)^n\ge1+nb_n, $$ 从而 $$ 0<b_n\le\frac{a-1}{n}\to0. $$ 若 $0<a<1$，可对 $1/a$ 使用上面的结论。

用子列证明发散#

证明数列或函数极限不存在，优先找两个子列或两条趋近路径。

数列例： $$ a_n=(-1)^n. $$ 有 $$ a_{2n}=1,\qquad a_{2n-1}=-1, $$ 两个子列极限不同，故 $\{a_n\}$ 发散。

函数例： 证明 $$ \lim_{x\to0}\sin\frac1x $$ 不存在。取 $$ x_n=\frac{1}{2n\pi+\pi/2},\qquad y_n=\frac{1}{2n\pi+3\pi/2}. $$ 则 $$ x_n\to0,\quad y_n\to0, $$ 但 $$ \sin\frac1{x_n}=1,\qquad \sin\frac1{y_n}=-1. $$

单调有界法#

目标：证明数列收敛但不易求极限。

步骤：

1. 证明单调；
2. 证明有界；
3. 由单调有界定理得到收敛；
4. 若有递推关系，令极限为 $L$，两边取极限求 $L$。

典型递推例： 设 $$ x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right),\qquad x_1>0,\ a>0. $$ 常用于构造 $\sqrt a$。证明：

- 先证 $x_n>0$； - 用 AM-GM 得 $$ x_{n+1}\ge\sqrt a; $$ - 再证从某项起单调递减： $$ x_{n+1}-x_n=\frac{a-x_n^2}{2x_n}\le0; $$ - 故收敛，设极限为 $L$，则 $$ L=\frac12\left(L+\frac aL\right), $$ 得 $L=\sqrt a$。

函数极限常用方法#

1. 等价无穷小替换： $$ \sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}. $$ 2. 有理化： $$ \sqrt{x+a}-\sqrt{x+b} = \frac{a-b}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}}. $$ 3. 取对数：处理幂指函数 $$ u(x)^{v(x)}=\exp(v(x)\ln u(x)). $$ 4. 夹逼：常见于含 $\sin$、$\cos$ 的有界振荡项。 5. Taylor 展开：处理高阶无穷小。

典型例： 求 $$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}. $$ 由 $$ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}, $$ 得极限为 $$ \frac12. $$

典型例： 求 $$ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}. $$ 用 $$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2), $$ 得极限为 $$ \frac12. $$

连续与一致连续题型#

证明连续#

常用方式：

1. 直接用 $\varepsilon$-$\delta$；
2. 用四则运算和复合连续性；
3. 分段函数在分界点单独检查。

分段函数在 $x_0$ 连续需要： $$ f(x_0-)=f(x_0+)=f(x_0). $$

证明不连续#

找左右极限不同、极限不存在，或极限与函数值不等。

证明一致连续#

常用充分条件：

- 闭区间连续； - Lipschitz 条件： $$ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|; $$ - 导数有界。

证明不一致连续#

找两列 $x_n,y_n$，满足 $$ |x_n-y_n|\to0, $$ 但 $$ |f(x_n)-f(y_n)|\not\to0. $$

典型例： $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。取 $$ x_n=\frac1n,\qquad y_n=\frac1{n+1}. $$ 则 $$ |x_n-y_n|\to0, $$ 但 $$ \left|\frac1{x_n}-\frac1{y_n}\right|=1. $$

中值定理证明不等式#

常见思路： 要证明 $$ F(x)\ge0 $$ 或某个不等式，构造辅助函数，再用 Rolle 或 Lagrange 中值定理。

典型例： 证明 $x>0$ 时 $$ \ln(1+x)<x. $$

令 $$ f(x)=x-\ln(1+x). $$ 则 $$ f'(x)=1-\frac1{1+x}=\frac{x}{1+x}>0. $$ 又 $f(0)=0$，故 $x>0$ 时 $f(x)>0$。

典型例： 证明 $$ \sin x<x\qquad(x>0). $$ 令 $$ f(x)=x-\sin x. $$ 则 $$ f'(x)=1-\cos x\ge0, $$ 且 $f(0)=0$，故结论成立。

Taylor 公式题型#

求极限#

原则：展开到第一个非零项。

例： $$ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}. $$ 由 $$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3), $$ 得极限为 $$ \frac13. $$

判断极值#

若在 $x_0$ 处 $$ f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,\quad f^{(n)}(x_0)\ne0, $$ 则看第一个非零高阶项。

• $n$ 偶且系数正：极小；
• $n$ 偶且系数负：极大；
• $n$ 奇：不是极值。

证明不等式#

用 Lagrange 余项控制符号。

例： 证明 $x>0$ 时 $$ e^x>1+x. $$ Taylor： $$ e^x=1+x+\frac{e^\xi}{2}x^2>1+x. $$

不定积分计算模板#

换元#

看到复合函数乘导数： $$ \int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx $$ 令 $$ u=\varphi(x). $$

例： $$ \int \frac{2x}{1+x^2}\,dx =\ln(1+x^2)+C. $$

分部积分#

适合：

• 多项式 $\times$ 指数；
• 多项式 $\times$ 三角；
• $\ln x$；
• 反三角函数。

例： $$ \int \ln x\,dx. $$ 令 $u=\ln x$，$dv=dx$，则 $$ \int\ln x\,dx=x\ln x-x+C. $$

三角积分#

常用恒等式： $$ \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}. $$

若 $\sin$ 的奇次幂出现，留一个 $\sin x\,dx$，其余转成 $\cos x$；若 $\cos$ 奇次幂出现，类似处理。

定积分计算模板#

利用对称性#

若 $f$ 为奇函数： $$ \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0. $$

若 $f$ 为偶函数： $$ \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. $$

若 $$ I=\int_0^a f(x)\,dx, $$ 常用替换 $x=a-t$： $$ I=\int_0^a f(a-t)\,dt. $$

变上限积分求导#

若 $$ F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)\,dt, $$ 则 $$ F'(x)=f(\beta(x))\beta'(x)-f(\alpha(x))\alpha'(x). $$

例： $$ F(x)=\int_{x^2}^{\sin x} e^{-t^2}\,dt. $$ 则 $$ F'(x)=e^{-\sin^2x}\cos x-2x e^{-x^4}. $$

积分和极限#

若出现 $$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right), $$ 通常转为 $$ \int_0^1 f(x)\,dx. $$

更一般地： $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f\left(a+\frac{k}{n}(b-a)\right)\frac{b-a}{n} =\int_a^b f(x)\,dx. $$

可积性证明模板#

连续函数可积#

用一致连续性： 给定 $\varepsilon>0$，存在 $\delta$，使 $|x-y|<\delta$ 时 $$ |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{b-a}. $$ 取分割细度小于 $\delta$，得 $$ U(T)-L(T)<\varepsilon. $$

单调函数可积#

设 $f$ 单调递增。对等分分割，有 $$ U(T)-L(T) =\sum_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))\Delta x_i \le \frac{b-a}{n}(f(b)-f(a)). $$ 令 $n$ 充分大即可。

有限间断点函数可积#

在间断点附近取很小区间，总长度很小；其余闭子区间上连续，从而可积。用上下和控制。

反常积分判别模板#

$p$-积分#

比较判别#

大 $x$ 时若 $$ 0\le f(x)\le \frac{C}{x^p},\quad p>1, $$ 则 $\int^\infty f$ 收敛。

若对充分大的 $x$ 有 $$ f(x)\ge \frac{c}{x},\quad c>0, $$ 且 $f(x)\ge0$，则 $\int^\infty f$ 发散。

Dirichlet 判别常见例#

$$ \int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx $$ 收敛但不绝对收敛。

理由： $$ \int_1^A \sin x\,dx $$ 有界，$1/x$ 单调趋于 $0$。

但 $$ \int_1^\infty \frac{|\sin x|}{x}\,dx $$ 发散。

容易误用的点#

1. 收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。
2. 单调是单调有界定理不可缺少的条件。
3. 函数极限与函数在该点是否定义无关，连续才要求函数值等于极限。
4. 一致连续不是逐点连续；开区间连续不一定一致连续。
5. 可导必连续，连续不一定可导。
6. 在区间上 $f'(x)>0$ 推出严格递增；$f'(x)\ge0$ 只推出单调不减。
7. 洛必达必须先确认是未定式。
8. Taylor 展开要展开到第一个非零项。
9. 可积必有界；无界函数不可能 Riemann 可积，但可能有反常积分。
10. 绝对收敛推出收敛，反过来不成立。

主要定理证明#

确界刻画#

设 $S\ne\varnothing$ 且有上界。证明 $\alpha=\sup S$ 当且仅当：

1. $x\le\alpha$ 对一切 $x\in S$ 成立；
2. 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $x_\varepsilon\in S$，使 $\alpha-\varepsilon<x_\varepsilon\le\alpha$。

证明：
若 $\alpha=\sup S$，则 $\alpha$ 是上界，所以第一条成立。若第二条不成立，则存在 $\varepsilon_0>0$，使所有 $x\in S$ 都满足 $x\le\alpha-\varepsilon_0$。于是 $\alpha-\varepsilon_0$ 也是上界，且小于 $\alpha$，与 $\alpha$ 是最小上界矛盾。

反过来，若两条成立，则 $\alpha$ 是上界。任取 $\beta<\alpha$，令 $\varepsilon=\alpha-\beta>0$，由第二条存在 $x_\varepsilon\in S$ 使 $x_\varepsilon>\beta$，所以 $\beta$ 不是上界。因此没有小于 $\alpha$ 的上界，$\alpha=\sup S$。

下确界的证明完全类似，把不等号方向反过来即可。

数列极限的唯一性、有界性与保序性#

唯一性证明： 若 $a_n\to a$ 且 $a_n\to b$，对任意 $\varepsilon>0$，取 $N$，使 $n>N$ 时 $$ |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2},\qquad |a_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}. $$ 于是 $$ |a-b|\le |a-a_n|+|a_n-b|<\varepsilon. $$ 由 $\varepsilon$ 任意得 $a=b$。

有界性证明： 由 $a_n\to a$，取 $\varepsilon=1$，存在 $N$，使 $n>N$ 时 $|a_n-a|<1$，故 $|a_n|\le |a|+1$。前 $N$ 项只有有限个，令 $$ M=\max\{|a_1|,\dots,|a_N|,|a|+1\}, $$ 则对一切 $n$ 有 $|a_n|\le M$。

保序性证明： 若从某项起 $a_n\le b_n$，且 $a_n\to a$、$b_n\to b$。若 $a>b$，取 $\varepsilon=(a-b)/3$。充分大时 $$ a_n>a-\varepsilon,\qquad b_n<b+\varepsilon. $$ 而 $a-\varepsilon>b+\varepsilon$，所以 $a_n>b_n$，与 $a_n\le b_n$ 矛盾。因此 $a\le b$。

夹逼定理#

设从某项起 $$ a_n\le c_n\le b_n,\qquad a_n\to A,\quad b_n\to A. $$ 给定 $\varepsilon>0$，充分大时 $$ A-\varepsilon<a_n\le c_n\le b_n<A+\varepsilon. $$ 因此 $|c_n-A|<\varepsilon$，故 $c_n\to A$。

单调有界定理#

设 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界。令 $$ \alpha=\sup\{a_n:n\in\mathbb N^+\}. $$ 由上确界刻画，给定 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使 $$ \alpha-\varepsilon<a_N\le\alpha. $$ 当 $n\ge N$ 时，由单调性 $$ \alpha-\varepsilon<a_N\le a_n\le\alpha, $$ 所以 $|a_n-\alpha|<\varepsilon$。故 $a_n\to\alpha$。单调递减有下界的情形同理，极限为下确界。

Cauchy 收敛准则#

收敛推出 Cauchy： 若 $a_n\to a$，给定 $\varepsilon>0$，取 $N$，使 $n>N$ 时 $|a_n-a|<\varepsilon/2$。则 $m,n>N$ 时 $$ |a_m-a_n|\le |a_m-a|+|a_n-a|<\varepsilon. $$

Cauchy 推出收敛： 先取 $\varepsilon=1$，知从某项起 $|a_n-a_N|<1$，所以数列有界。由致密性定理，存在子列 $a_{n_k}\to a$。再由 Cauchy 性，给定 $\varepsilon>0$，取 $N$，使 $m,n>N$ 时 $|a_m-a_n|<\varepsilon/2$；又取 $k$ 使 $n_k>N$ 且 $|a_{n_k}-a|<\varepsilon/2$。于是 $n>N$ 时 $$ |a_n-a|\le |a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a|<\varepsilon. $$ 故 $a_n\to a$。

Heine 归结原则#

设 $f$ 在 $x_0$ 去心邻域内有定义。

若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，则对任意 $x_n\ne x_0$ 且 $x_n\to x_0$，由极限定义可知 $f(x_n)\to A$。

反过来，若对任意 $x_n\ne x_0$ 且 $x_n\to x_0$ 都有 $f(x_n)\to A$，但函数极限不等于 $A$，则存在 $\varepsilon_0>0$，使任意 $\delta>0$，都能找到 $x$ 满足 $$ 0<|x-x_0|<\delta,\qquad |f(x)-A|\ge\varepsilon_0. $$ 令 $\delta=1/n$，可取 $x_n$ 满足上述条件。则 $x_n\to x_0$，但 $f(x_n)$ 不趋于 $A$，矛盾。

闭区间连续函数的有界性与最值定理#

有界性证明：
若 $f\in C[a,b]$ 但无界，则对每个 $n$，存在 $x_n\in[a,b]$ 使 $|f(x_n)|>n$。由致密性定理，$\{x_n\}$ 有子列 $x_{n_k}\to x_0\in[a,b]$。连续性给出 $f(x_{n_k})\to f(x_0)$，从而该子列函数值有界，与 $|f(x_{n_k})|>n_k$ 矛盾。

最值定理证明： 由有界性，令 $M=\sup f([a,b])$。按上确界刻画，存在 $x_n\in[a,b]$，使 $f(x_n)>M-1/n$。取收敛子列 $x_{n_k}\to x_0\in[a,b]$。由连续性 $$ f(x_0)=\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=M. $$ 故最大值取得。最小值对 $-f$ 使用同样结论。

零点定理与介值定理#

零点定理证明： 设 $f(a)<0<f(b)$。令 $$ S=\{x\in[a,b]:f(x)<0\}. $$ $S$ 非空且有上界，设 $\xi=\sup S$。若 $f(\xi)>0$，由连续性，$\xi$ 左侧足够近处也有 $f>0$，与 $\xi$ 是 $S$ 的上确界矛盾。若 $f(\xi)<0$，由连续性，$\xi$ 右侧足够近处也有 $f<0$，与 $\xi$ 是上界矛盾。因此 $f(\xi)=0$。

介值定理证明：
若 $C$ 介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间，令 $g(x)=f(x)-C$。则 $g$ 连续且两端异号，由零点定理存在 $\xi$ 使 $g(\xi)=0$，即 $f(\xi)=C$。

Cantor 一致连续定理#

若 $f\in C[a,b]$ 但不一致连续，则存在 $\varepsilon_0>0$，对任意 $n$，可取 $x_n,y_n\in[a,b]$，使 $$ |x_n-y_n|<\frac1n,\qquad |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0. $$ 由致密性定理，取子列 $x_{n_k}\to x_0\in[a,b]$。又 $$ |y_{n_k}-x_0|\le |y_{n_k}-x_{n_k}|+|x_{n_k}-x_0|\to0, $$ 所以 $y_{n_k}\to x_0$。连续性给出 $$ f(x_{n_k})\to f(x_0),\qquad f(y_{n_k})\to f(x_0), $$ 从而 $|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\to0$，矛盾。

Rolle 定理、Lagrange 中值定理与 Cauchy 中值定理#

Rolle 定理证明：
由最值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上取到最大值和最小值。若最大值等于最小值，则 $f$ 为常数，任取 $\xi\in(a,b)$ 有 $f'(\xi)=0$。否则最大值或最小值至少有一个在内部点取得。设内部极值点为 $\xi$，由 Fermat 定理得 $f'(\xi)=0$。

Lagrange 中值定理证明： 构造 $$ F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a). $$ 则 $F\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 可导，且 $F(a)=F(b)$。由 Rolle 定理，存在 $\xi$ 使 $F'(\xi)=0$，即 $$ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$

Cauchy 中值定理证明： 构造 $$ F(x)=(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(x)-f(a)). $$ 则 $F(a)=F(b)=0$。由 Rolle 定理存在 $\xi$ 使 $F'(\xi)=0$，即 $$ (f(b)-f(a))g'(\xi)=(g(b)-g(a))f'(\xi). $$ 若 $g'(\xi)\ne0$，整理得结论。

Taylor 公式#

Peano 余项证明： 设 $$ P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k. $$ 令 $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$。则 $R_n(x_0)=R_n'(x_0)=\cdots=R_n^{(n)}(x_0)=0$。对 $R_n(x)/(x-x_0)^n$ 连续使用洛必达法则 $n$ 次，得到 $$ \lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0, $$ 即 $R_n(x)=o((x-x_0)^n)$。

Lagrange 余项证明： 设 $x\ne x_0$，令 $$ R=f(x)-P_n(x). $$ 构造 $$ F(t)=f(t)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(t-x_0)^k -R\frac{(t-x_0)^{n+1}}{(x-x_0)^{n+1}}. $$ 则 $F(x_0)=F'(x_0)=\cdots=F^{(n)}(x_0)=0$ 且 $F(x)=0$。连续使用 Rolle 定理 $n+1$ 次，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使 $F^{(n+1)}(\xi)=0$。整理得 $$ R=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}. $$

区间套定理与聚点定理#

区间套定理证明： 设 $[a_n,b_n]$ 递减且 $b_n-a_n\to0$。由单调性，$\{a_n\}$ 单调递增且有上界，故收敛到 $\alpha$；$\{b_n\}$ 单调递减且有下界，故收敛到 $\beta$。又 $$ 0\le \beta-\alpha=\lim(b_n-a_n)=0, $$ 所以 $\alpha=\beta$。记公共极限为 $\xi$，则对每个 $n$ 有 $a_n\le \xi\le b_n$。若还有 $\eta$ 属于所有区间，则 $|\eta-\xi|\le b_n-a_n$ 对一切 $n$ 成立，令 $n\to\infty$ 得 $\eta=\xi$。

聚点定理证明：
对有界无限点集 $S$，取闭区间 $[a,b]$ 包含 $S$。把区间二等分，至少有一半含有 $S$ 的无限多个点，取这一半为 $[a_1,b_1]$。反复二分，得到区间套 $[a_n,b_n]$，每个区间都含有 $S$ 的无限多个点，且长度趋于 $0$。由区间套定理存在唯一 $\xi$ 属于所有区间。任意邻域内包含某个 $[a_n,b_n]$，其中有无限多个 $S$ 中的点，故 $\xi$ 是聚点。

Riemann 可积的常用充分条件#

连续函数可积： 由 Cantor 定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta$，使 $|x-y|<\delta$ 时 $$ |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{b-a}. $$ 当分割 $T$ 的细度小于 $\delta$ 时，每个小区间上的振幅小于 $\varepsilon/(b-a)$，所以 $$ U(T)-L(T)<\sum_i \frac{\varepsilon}{b-a}\Delta x_i=\varepsilon. $$ 故 $f$ 可积。

单调函数可积： 设 $f$ 单调递增。取等分分割，$\Delta x=(b-a)/n$。则 $$ U(T)-L(T)=\sum_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))\Delta x =\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a)). $$ 令 $n$ 足够大，即可使上、下和之差小于任意 $\varepsilon$，故可积。单调递减同理。

微积分基本定理#

设 $$ F(x)=\int_a^x f(t)\,dt. $$ 若 $f$ 在 $x$ 处连续，则 $$ \frac{F(x+h)-F(x)}{h} =\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt. $$ 再减去 $f(x)$，得 $$ \left|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)\right| \le \sup_{t\text{ 介于 }x,x+h}|f(t)-f(x)|. $$ 由 $f$ 在 $x$ 处连续，右端随 $h\to0$ 趋于 $0$，所以 $F'(x)=f(x)$。

若 $f\in C[a,b]$ 且 $\Phi'=f$，则 $F-\Phi$ 导数恒为 $0$，故 $F-\Phi$ 为常数。于是 $$ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Phi(b)-\Phi(a). $$

反常积分的比较判别与 Dirichlet 判别#

比较判别证明： 若 $0\le f\le g$，且 $\int_a^\infty g$ 收敛，则对 $A>B>a$， $$ 0\le \int_B^A f\le \int_B^A g. $$ 由 $g$ 的 Cauchy 准则，右端可任意小，故 $\int_a^\infty f$ 收敛。若 $\int f$ 发散而 $\int g$ 收敛，则刚证出的结论会推出 $\int f$ 收敛，矛盾；故 $\int g$ 发散。

Dirichlet 判别证明： 设 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 有界，$g$ 单调趋于 $0$。对 $A<B$ 作分部积分： $$ \int_A^B f(x)g(x)\,dx =F(B)g(B)-F(A)g(A)-\int_A^B F(x)\,dg(x). $$ 若 $|F|\le M$，利用 $g$ 单调且趋于 $0$，可得尾积分绝对值由 $C|g(A)|$ 控制，随 $A\to\infty$ 趋于 $0$。由 Cauchy 准则，积分收敛。

附件#