线性代数 I

线性方程组与行简化阶梯形#

行简化阶梯形#

行简化阶梯矩阵满足：

1. 零行在非零行下方；
2. 每个非零行首个非零元为 $1$；
3. 主元所在列其余元素全为 $0$；
4. 主元位置从上到下向右移动。

线性方程组化为简化阶梯形后：

• 出现 $0=d$（$d\ne0$）则无解；
• 无矛盾行且每个未知量都是主变量，则唯一解；
• 有自由变量则有无穷多解，可令自由变量为参数。

齐次与非齐次方程组#

齐次方程组： $$ Ax=0. $$

若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$r=\operatorname{rank}A$，则解空间维数为 $$ \dim\ker A=n-r. $$

非齐次方程组： $$ Ax=b $$ 有解当且仅当 $$ \operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A|b). $$

若 $x_0$ 为一个特解，则全体解为 $$ x=x_0+x_h,\qquad x_h\in\ker A. $$

补充：

- 非齐次方程组是否唯一，在有解前提下由对应齐次方程组是否只有零解决定。 - 若 $\ker A$ 的一组基为 $\eta_1,\dots,\eta_{n-r}$，则齐次解为 $$ x=c_1\eta_1+\cdots+c_{n-r}\eta_{n-r}. $$

本章例题#

例 1：讨论方程组 $$ \begin{cases} x+y+z=1,\\ 2x+2y+2z=2 \end{cases} $$ 的解。

解：第二个方程是第一个方程的两倍，秩为 $1$，未知量个数为 $3$，有两个自由变量。令 $y=s,z=t$，则 $$ x=1-s-t. $$ 通解为 $$ (x,y,z)=(1,0,0)+s(-1,1,0)+t(-1,0,1). $$

例 2：求齐次方程 $$ x+y+z=0 $$ 的基础解系。

解：令 $y=s,z=t$，则 $x=-s-t$。因此 $$ (x,y,z)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1), $$ 基础解系可取 $$ (-1,1,0),\qquad (-1,0,1). $$

线性空间、子空间与生成#

线性空间定义#

设 $F$ 为数域，$V$ 为非空集合。若 $V$ 上有加法与数乘，满足：

1. $x+y=y+x$；
2. $(x+y)+z=x+(y+z)$；
3. 存在零元 $0$，$x+0=x$；
4. 对每个 $x$ 存在 $-x$，$x+(-x)=0$；
5. $\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y$；
6. $(\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x$；
7. $(\lambda\mu)x=\lambda(\mu x)$；
8. $1x=x$；

则称 $V$ 是 $F$ 上的线性空间。

例子：

• $F^n$；
• $F^{m\times n}$；
• $F[x]$；
• $C[a,b]$；
• 数列空间。

注意：

• 同一个集合在不同数域上可能是不同线性空间；
• $\mathbb C$ 可看作 $\mathbb C$ 上线性空间，也可看作 $\mathbb R$ 上线性空间；
• $\mathbb R$ 不是 $\mathbb C$ 上的线性空间；
• 整数集 $\mathbb Z$ 不是数域，不能作为线性空间的标量域。

基本性质#

在线性空间中：

证明： 若 $0,0'$ 都是零元，则 $$ 0=0+0'=0'. $$

若 $y,z$ 都是 $x$ 的负元，则 $$ y=y+0=y+(x+z)=(y+x)+z=0+z=z. $$

子空间#

设 $W\subseteq V$，$W\ne\varnothing$。则 $W$ 是子空间当且仅当 $$ \forall x,y\in W,\ \forall\lambda,\mu\in F,\quad \lambda x+\mu y\in W. $$

常用判别：

1. 非空；
2. 加法封闭；
3. 数乘封闭。

线性组合与线性包#

向量组 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 的线性组合： $$ k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n. $$

$S$ 的线性包： $$ L(S)=\operatorname{span}(S). $$

定理：

1. $L(S)$ 是子空间；
2. $L(S)$ 是包含 $S$ 的最小子空间；
3. 若 $S\subseteq W$ 且 $W$ 为子空间，则 $L(S)\subseteq W$。

证明：
直接验证 $L(S)$ 对线性组合封闭；最小性由任意包含 $S$ 的子空间必须包含 $S$ 的所有线性组合得出。

本章例题#

例 1：判断 $$ W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x+y+z=0\} $$ 是否为 $\mathbb R^3$ 的子空间。

解：若 $u,v\in W$，则坐标和都为 $0$。对任意 $\lambda,\mu\in\mathbb R$，$\lambda u+\mu v$ 的坐标和仍为 $0$，所以 $\lambda u+\mu v\in W$。故 $W$ 是子空间。

例 2：判断 $$ S=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x+y=1\} $$ 是否为子空间。

解：$(0,0)\notin S$，所以 $S$ 不是子空间。

例 3：在 $\mathbb R[x]$ 中，证明 $$ W=\{p(x):p(0)=0\} $$ 是子空间。

解：若 $p(0)=q(0)=0$，则 $$ (\lambda p+\mu q)(0)=\lambda p(0)+\mu q(0)=0. $$ 故 $W$ 对线性组合封闭。

线性相关、基、维数与秩#

线性相关与线性无关#

向量组 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性相关，若存在不全为 $0$ 的 $k_i$，使 $$ k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=0. $$

若只有 $k_1=\cdots=k_n=0$，则线性无关。

重要结论：

• 含零向量的向量组必线性相关；
• 线性相关组增加向量后仍线性相关；
• 线性无关组任意子组线性无关；
• 有限向量组线性相关，当且仅当其中某个向量可由其余向量线性表示。

证明： 若 $$ k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=0 $$ 且某 $k_i\ne0$，则 $$ \alpha_i=-\frac1{k_i}\sum_{j\ne i}k_j\alpha_j. $$

例子：

• $e_1,\dots,e_n$ 线性无关；
• $1,x,x^2$ 作为多项式线性无关；
• 在有限域上要区分多项式与多项式函数，例如 $\mathbb Z_2$ 上可能出现非零多项式对应零函数。

替换定理#

若 $\beta_1,\dots,\beta_m$ 线性无关，且都可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性表示，则 $$ m\le n. $$

证明：
逐步用 $\beta_i$ 替换 $\alpha_j$，保持生成空间不变，最终推出不能替换超过 $n$ 个。

推论：

• 有限维空间任意两组基元素个数相同；
• $n$ 维空间任意 $n+1$ 个向量线性相关；
• $n$ 维空间任意 $n$ 个线性无关向量构成基；
• $n$ 维空间任意 $n$ 个生成向量构成基。

基与维数#

若向量组 $B=\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$ 满足：

1. 线性无关；
2. $L(B)=V$；

则称 $B$ 是 $V$ 的一组基，$\dim V=n$。

零空间维数为 $0$。

子空间维数#

若 $W\le V$，$\dim V<\infty$，则 $$ \dim W\le\dim V. $$ 若 $\dim W=\dim V$，则 $W=V$。

子空间的一组基可扩充为整个空间的一组基。

向量组的秩#

向量组 $S$ 的极大线性无关组所含向量个数称为 $S$ 的秩： $$ \operatorname{rank}(S). $$

若 $B$ 是 $S$ 的极大线性无关组，则 $$ L(B)=L(S),\qquad \operatorname{rank}(S)=\dim L(S). $$

等价向量组： 若 $S$ 中每个向量可由 $T$ 线性表示，且 $T$ 中每个向量可由 $S$ 线性表示，则 $S,T$ 等价，且 $$ L(S)=L(T),\qquad \operatorname{rank}(S)=\operatorname{rank}(T). $$

坐标#

若 $B=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ 是 $V$ 的一组基，则任意 $x\in V$ 唯一表示为 $$ x=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n. $$ 列向量 $$ [x]_B=(x_1,\dots,x_n)^T $$ 称为 $x$ 在基 $B$ 下的坐标。

本章例题#

例 1：证明 $e_1,\dots,e_n$ 线性无关。

解：若 $$ k_1e_1+\cdots+k_ne_n=0, $$ 则左边坐标为 $(k_1,\dots,k_n)$，所以 $k_1=\cdots=k_n=0$。

例 2：证明 $1,x,x^2$ 在 $\mathbb R[x]$ 中线性无关。

解：若 $$ a+bx+cx^2=0 $$ 作为多项式恒等于零，则各项系数都为 $0$，即 $a=b=c=0$。

例 3：求向量组 $$ \alpha_1=(1,1,0),\quad \alpha_2=(1,0,1),\quad \alpha_3=(2,1,1) $$ 的秩。

解：因为 $$ \alpha_3=\alpha_1+\alpha_2, $$ 且 $\alpha_1,\alpha_2$ 不成比例，所以极大线性无关组可取 $\alpha_1,\alpha_2$，秩为 $2$。

例 4：在基 $B=(\alpha_1,\alpha_2)$ 中，若 $$ x=3\alpha_1-2\alpha_2, $$ 则 $$ [x]_B=(3,-2)^T. $$

子空间的交、和与直和#

交空间与和空间#

交： $$ W_1\cap W_2=\{x:x\in W_1,\ x\in W_2\}. $$

和： $$ W_1+W_2=\{x_1+x_2:x_1\in W_1,\ x_2\in W_2\}. $$

$W_1+W_2$ 是包含 $W_1\cup W_2$ 的最小子空间。

注意：$W_1\cup W_2$ 一般不是子空间，除非 $W_1\subseteq W_2$ 或 $W_2\subseteq W_1$。

维数公式#

若 $W_1,W_2$ 有限维，则 $$ \dim(W_1+W_2) =\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2). $$

证明：
取 $W_1\cap W_2$ 的基，分别扩充为 $W_1,W_2$ 的基，再证明合并后的向量组是 $W_1+W_2$ 的基。

直和#

若 $$ W_1\cap W_2=\{0\}, $$ 则称 $$ W_1+W_2=W_1\oplus W_2. $$

等价条件：

1. $W_1\cap W_2=\{0\}$；
2. 每个 $x\in W_1+W_2$ 可唯一表示为 $x=x_1+x_2$；
3. 有限维时 $\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2$。

多个子空间直和： $$ W_1+\cdots+W_s $$ 为直和，当且仅当 $$ x_1+\cdots+x_s=0,\ x_i\in W_i \Rightarrow x_1=\cdots=x_s=0. $$

本章例题#

例 1：设 $$ U=\{(x,0):x\in\mathbb R\},\qquad W=\{(0,y):y\in\mathbb R\}. $$ 证明 $\mathbb R^2=U\oplus W$。

解：任意 $(a,b)\in\mathbb R^2$ 可写成 $$ (a,b)=(a,0)+(0,b). $$ 且 $U\cap W=\{0\}$，故为直和。

例 2：设 $U=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}$，$W=\operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}$。求 $\dim(U+W)$。

解：$\dim U=2$，$\dim W=2$，$U\cap W=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}$，维数为 $1$。故 $$ \dim(U+W)=2+2-1=3. $$

内积空间#

内积定义#

在实线性空间 $V$ 上，内积是映射 $$ (\cdot,\cdot):V\times V\to\mathbb R $$ 满足：

1. 对第一个变量线性；
2. 对称性 $(x,y)=(y,x)$；
3. 正定性 $(x,x)\ge0$，且 $(x,x)=0\Leftrightarrow x=0$。

例子：

- $\mathbb R^n$ 中 $$ (x,y)=x^Ty. $$ - $C[a,b]$ 中 $$ (f,g)=\int_a^b f(x)g(x)\,dx. $$

Cauchy-Schwarz 不等式#

证明： 对任意 $t\in\mathbb R$， $$ (x+ty,x+ty)\ge0. $$ 视为关于 $t$ 的二次多项式，其判别式不大于 $0$。

等号成立当且仅当 $x,y$ 线性相关。

范数与夹角#

范数： $$ \|x\|=\sqrt{(x,x)}. $$

三角不等式： $$ \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|. $$

夹角： $$ \cos\theta=\frac{(x,y)}{\|x\|\|y\|}. $$

正交与标准正交基#

若 $(x,y)=0$，则称 $x\perp y$。

非零两两正交向量组必线性无关。

标准正交基： $$ (e_i,e_j)=\delta_{ij}. $$

Schmidt 正交化：

本章例题#

例 1：在 $\mathbb R^2$ 中，对 $$ \alpha_1=(1,1),\qquad \alpha_2=(1,0) $$ 作 Schmidt 正交化。

解：取 $$ \beta_1=\alpha_1=(1,1). $$ 再取 $$ \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 =(1,0)-\frac12(1,1)=\left(\frac12,-\frac12\right). $$ 单位化得 $$ e_1=\frac1{\sqrt2}(1,1),\qquad e_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1). $$

例 2：验证 $C[a,b]$ 上 $$ (f,g)=\int_a^b f(x)g(x)\,dx $$ 是内积。

解：线性性与对称性由积分线性和乘法交换律得到。又 $$ (f,f)=\int_a^b f^2(x)\,dx\ge0. $$ 若 $f$ 连续且积分为 $0$，则 $f^2\equiv0$，故 $f\equiv0$。

线性映射#

线性映射定义#

设 $V,W$ 是 $F$ 上线性空间，映射 $T:V\to W$ 若满足 $$ T(\lambda x+\mu y)=\lambda T(x)+\mu T(y), $$ 则称为线性映射。

基本性质： $$ T(0)=0,\qquad T(-x)=-T(x). $$

若 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是 $V$ 的基，$\beta_1,\dots,\beta_n\in W$ 任意，则存在唯一线性映射 $T:V\to W$，使 $$ T(\alpha_i)=\beta_i. $$

像与核#

像： $$ \operatorname{Im}T=\{T(x):x\in V\}. $$

核： $$ \ker T=\{x\in V:T(x)=0\}. $$

$\operatorname{Im}T$ 是 $W$ 的子空间，$\ker T$ 是 $V$ 的子空间。

单射判别： $$ T \text{ 单射}\quad\Longleftrightarrow\quad \ker T=\{0\}. $$

秩-零化度定理#

若 $\dim V<\infty$，则 $$ \dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T. $$

证明：
取 $\ker T$ 的基，扩充为 $V$ 的基；证明扩充部分在 $T$ 下的像构成 $\operatorname{Im}T$ 的一组基。

若 $\dim V=\dim W<\infty$，则以下等价：

1. $T$ 单射；
2. $T$ 满射；
3. $T$ 双射；
4. $\ker T=\{0\}$；
5. $\operatorname{Im}T=W$。

同构#

若存在双射线性映射 $T:V\to W$，则 $V,W$ 同构，记作 $$ V\cong W. $$

有限维情形： $$ V\cong W\quad\Longleftrightarrow\quad \dim V=\dim W. $$

线性映射空间#

全体线性映射 $$ L(V,W)=\{T:V\to W:T\text{ 线性}\} $$ 在逐点加法与数乘下构成线性空间。

若 $\dim V=n$，$\dim W=m$，则 $$ \dim L(V,W)=mn. $$

线性映射的复合仍为线性映射。

本章例题#

例 1：设 $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$， $$ T(x,y,z)=(x+y,y+z). $$ 求 $\ker T$ 与 $\operatorname{Im}T$。

解：$\ker T$ 满足 $$ x+y=0,\qquad y+z=0. $$ 令 $y=t$，则 $x=-t,z=-t$，所以 $$ \ker T=\operatorname{span}\{(-1,1,-1)\}. $$ 矩阵为 $$ \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}, $$ 秩为 $2$，故 $\operatorname{Im}T=\mathbb R^2$。

例 2：在线性空间 $\mathbb R[x]_{\le2}$ 中，求求导映射 $D(p)=p'$ 的核与像。

解：核为常数多项式空间，维数为 $1$。像为 $\mathbb R[x]_{\le1}$，维数为 $2$。这也验证 $$ \dim\mathbb R[x]_{\le2}=3=1+2. $$

线性映射的矩阵表示与矩阵运算#

矩阵表示#

设 $V$ 基为 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$，$W$ 基为 $\beta_1,\dots,\beta_m$。若 $$ T(\alpha_j)=a_{1j}\beta_1+\cdots+a_{mj}\beta_m, $$ 则 $$ A=(a_{ij})_{m\times n} $$ 是 $T$ 在这两组基下的矩阵。

若 $x$ 在 $\alpha$ 基下坐标为 $X$，$T(x)$ 在 $\beta$ 基下坐标为 $Y$，则 $$ Y=AX. $$

矩阵乘法#

若 $A=(a_{ij})_{m\times n}$，$B=(b_{ij})_{n\times p}$，则 $$ (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}. $$

复合对应乘法： $$ M(S\circ T)=M(S)M(T). $$

矩阵乘法一般不可交换。

可逆矩阵#

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆，若存在 $B$，使 $$ AB=BA=I. $$

等价条件：

1. $A$ 可逆；
2. $Ax=0$ 只有零解；
3. $Ax=b$ 对任意 $b$ 有唯一解；
4. $\operatorname{rank}A=n$；
5. $\det A\ne0$；
6. $A$ 是初等矩阵的乘积。

转置与特殊矩阵#

转置： $$ (A^T)_{ij}=A_{ji}. $$

性质： $$ (A+B)^T=A^T+B^T,\qquad (AB)^T=B^TA^T. $$

对称矩阵： $$ A^T=A. $$

反对称矩阵： $$ A^T=-A. $$ 实反对称矩阵对角元为 $0$。

初等矩阵与初等变换#

三类初等变换：

1. 交换两行；
2. 某行乘非零常数；
3. 某行加另一行的倍数。

对单位矩阵作一次初等变换得到初等矩阵。

左乘初等矩阵对应行变换，右乘初等矩阵对应列变换。

初等矩阵可逆，其逆仍为初等矩阵。

相抵标准形#

若存在可逆矩阵 $P,Q$，使 $$ B=PAQ, $$ 则 $A,B$ 相抵。

任意 $m\times n$ 矩阵都相抵于 $$ \begin{pmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{pmatrix}, $$ 其中 $r=\operatorname{rank}A$。

同型矩阵相抵当且仅当秩相同。

基变换与坐标变换#

若两组基满足 $$ (\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)P, $$ 则 $P$ 为过渡矩阵。

坐标关系： $$ X_\alpha=PX_\beta,\qquad X_\beta=P^{-1}X_\alpha. $$

若线性变换在两组基下矩阵为 $A,B$，则 $$ B=P^{-1}AP. $$

本章例题#

例 1：设 $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$， $$ T(x,y)=(x+y,2y). $$ 求 $T$ 在标准基下的矩阵。

解： $$ T(e_1)=(1,0),\qquad T(e_2)=(1,2). $$ 故矩阵为 $$ A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}. $$

例 2：求 $$ A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix} $$ 的逆矩阵。

解：设 $$ A^{-1}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}. $$ 由 $AA^{-1}=I$ 解得 $$ A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-\frac12\\0&\frac12\end{pmatrix}. $$

例 3：设新基满足 $(\beta_1,\beta_2)=(\alpha_1,\alpha_2)P$，且 $$ P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}. $$ 若 $X_\beta=(2,3)^T$，求 $X_\alpha$。

解： $$ X_\alpha=PX_\beta =\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}. $$

行列式#

行列式性质#

行列式满足：

1. 交换两行，行列式变号；
2. 某行乘 $k$，行列式乘 $k$；
3. 某行加另一行倍数，行列式不变；
4. 两行相同或成比例，行列式为 $0$；
5. 三角矩阵行列式等于对角线元素乘积；
6. $\det A^T=\det A$；
7. $\det(AB)=\det A\det B$。

代数余子式展开#

删去第 $i$ 行第 $j$ 列所得行列式称余子式 $M_{ij}$。代数余子式： $$ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. $$

按第 $i$ 行展开： $$ \det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}. $$

按第 $j$ 列展开： $$ \det A=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}. $$

某一行元素与另一行对应代数余子式乘积求和为 $0$。

伴随矩阵#

伴随矩阵： $$ A^*=(A_{ji}). $$

性质： $$ AA^=A^A=(\det A)I. $$

若 $\det A\ne0$，则 $$ A^{-1}=\frac1{\det A}A^*. $$

行列式秩#

矩阵 $A$ 的非零子式最高阶数等于矩阵秩： $$ \operatorname{rank}A=r $$ 当且仅当 $A$ 有 $r$ 阶非零子式，且所有 $r+1$ 阶子式均为 $0$。

Cramer 法则#

若 $\det A\ne0$，则 $$ Ax=b $$ 有唯一解 $$ x_i=\frac{\det A_i}{\det A}. $$

本章例题#

例 1：计算 $$ \det\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&4&5\\ 0&0&6 \end{pmatrix}. $$

解：上三角矩阵行列式等于对角线元素乘积，故为 $$ 1\cdot4\cdot6=24. $$

例 2：求 $$ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} $$ 的伴随矩阵。

解： $$ A^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. $$ 若 $ad-bc\ne0$，则 $$ A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. $$

例 3：用 Cramer 法则解 $$ \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1. \end{cases} $$

解： $$ A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad \det A=-2. $$ 于是 $$ x=\frac{\begin{vmatrix}3&1\\1&-1\end{vmatrix}}{-2}=2,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}1&3\\1&1\end{vmatrix}}{-2}=1. $$

特征值、特征向量与对角化#

特征值与特征向量#

若 $x\ne0$ 且 $$ Ax=\lambda x, $$ 则 $\lambda$ 为特征值，$x$ 为对应特征向量。

特征多项式： $$ p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A). $$

特征子空间： $$ E_\lambda=\ker(A-\lambda I). $$

相似矩阵有相同特征多项式、迹、行列式和特征值。

不同特征值的特征向量#

属于不同特征值的非零特征向量线性无关；更一般地，不同特征子空间中各取一组线性无关向量，合并后仍线性无关。

证明： 对特征值个数归纳，或用 $$ A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i $$ 构造线性关系并消去。

可对角化#

$A$ 在数域 $F$ 上可对角化，当且仅当存在 $F$ 上可逆矩阵 $P$，使 $$ P^{-1}AP=D $$ 为对角矩阵。

等价条件：

1. $F^n$ 有一组由 $A$ 的特征向量组成的基； 2. $F$ 中所有不同特征值对应的特征子空间维数之和为 $n$： $$ \sum_i\dim E_{\lambda_i}=n. $$

若 $A$ 在 $F$ 中有 $n$ 个互异特征值，则 $A$ 在 $F$ 上可对角化。

注意：
几何重数不超过代数重数。

实对称矩阵的正交对角化#

若 $A=A^T$，则：

1. 特征值均为实数； 2. 不同特征值对应特征向量正交； 3. 存在正交矩阵 $Q$，使 $$ Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n). $$

证明：
可用 Rayleigh 商极值或复化后的谱定理证明存在实特征值，再对其正交补归纳。

本章例题#

例 1：求 $$ A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix} $$ 的特征值和特征向量。

解：特征值为 $2,3$。对应特征子空间分别为 $$ E_2=\operatorname{span}\{(1,0)^T\},\qquad E_3=\operatorname{span}\{(0,1)^T\}. $$

例 2：判断 $$ A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} $$ 是否可对角化。

解：唯一特征值为 $1$。解 $(A-I)x=0$ 得 $$ \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0, $$ 故 $y=0$，特征子空间维数为 $1<2$，不可对角化。

例 3：正交对角化 $$ A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}. $$

解：标准基已经是标准正交特征向量组，取 $Q=I$，则 $$ Q^TAQ=\operatorname{diag}(2,3). $$

二次型、合同与正定#

双线性函数与二次型#

双线性函数 $B(x,y)$ 对两个变量分别线性。

二次型： $$ Q(x)=B(x,x). $$

在坐标下可写为 $$ Q(x)=x^TAx, $$ 其中只需考虑 $B$ 的对称部分，因此 $A$ 可取实对称矩阵。

合同#

若存在可逆矩阵 $C$，使 $$ B=C^TAC, $$ 则称 $A,B$ 合同。

合同对应二次型的可逆线性替换。

标准形与规范形#

二次型可通过合同变换化为标准形： $$ d_1y_1^2+\cdots+d_ry_r^2. $$

实二次型还可化为规范形： $$ z_1^2+\cdots+z_p^2 -z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2. $$

惯性定理#

规范形中正平方项个数 $p$ 与负平方项个数 $q$ 唯一确定，分别称正惯性指数与负惯性指数。

矩阵合同不改变秩、正惯性指数、负惯性指数。

正定二次型与正定矩阵#

实对称矩阵 $A$ 正定，若 $$ x^TAx>0,\qquad x\ne0. $$

等价条件：

1. $A$ 正定； 2. $A$ 的特征值全为正； 3. 存在可逆矩阵 $P$，使 $$ A=P^TP; $$ 4. $A$ 的所有顺序主子式均为正： $$ \Delta_k>0,\quad k=1,\dots,n. $$

半正定： $$ x^TAx\ge0. $$ 半正定等价于所有特征值非负；也等价于所有主子式非负。

- 判断给定二次型是否正定； - 用特征值判断正定； - 用顺序主子式判断正定； - 证明 Gram 矩阵正定：若 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性无关，则 $$ G=((\alpha_i,\alpha_j)) $$ 正定。

本章例题#

例 1：化二次型 $$ Q(x,y)=x^2+2xy+2y^2 $$ 为标准形。

解： $$ Q=(x+y)^2+y^2. $$ 令 $u=x+y,v=y$，则 $$ Q=u^2+v^2. $$ 因此它正定。

例 2：判断 $$ A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} $$ 是否正定。

解：顺序主子式 $$ \Delta_1=2>0,\qquad \Delta_2=3>0. $$ 故 $A$ 正定。

例 3：证明线性无关向量 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 的 Gram 矩阵 $$ G=((\alpha_i,\alpha_j)) $$ 正定。

解：任取 $c=(c_1,\dots,c_n)^T\ne0$，有 $$ c^TGc=\left(\sum_i c_i\alpha_i,\sum_j c_j\alpha_j\right) =\left\|\sum_i c_i\alpha_i\right\|^2. $$ 因 $\alpha_i$ 线性无关，$\sum_i c_i\alpha_i\ne0$，故 $c^TGc>0$。

计算题与证明题模板#

这一部分把散落的计算流程集中起来。

判断向量组线性相关#

给定向量组 $$ \alpha_1,\dots,\alpha_s\in F^n. $$

方法：

1. 组成矩阵 $$ A=(\alpha_1,\dots,\alpha_s). $$ 2. 解齐次方程 $$ Ax=0. $$ 3. 若只有零解，则线性无关；若有非零解，则线性相关。

等价地：

• 若 $\operatorname{rank}A=s$，列向量组线性无关；
• 若 $\operatorname{rank}A<s$，列向量组线性相关。

特殊快速判断：

• 含零向量必相关；
• 向量个数超过空间维数必相关；
• 两个非零向量相关当且仅当成比例；
• 正交的非零向量组必无关。

求极大线性无关组和秩#

给定向量组 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$：

1. 以这些向量为列组成矩阵 $A$；
2. 对 $A$ 作初等行变换化为阶梯形；
3. 主元列对应的原向量构成极大线性无关组；
4. 主元个数就是秩。

注意：
行变换会改变列向量本身，但不改变列向量之间的线性关系，所以要取“原矩阵的主元列”。

求子空间的一组基#

由生成向量给出#

若 $$ W=L(\alpha_1,\dots,\alpha_s), $$ 则从 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 中取极大线性无关组，即为 $W$ 的一组基。

由方程给出#

若 $$ W=\{x\in F^n:Ax=0\}, $$ 则解齐次方程组，写出基础解系，即为 $W$ 的一组基。

步骤：

1. 化 $A$ 为行简化阶梯形；
2. 找主变量和自由变量；
3. 分别令一个自由变量为 $1$、其余为 $0$；
4. 得到基础解系。

证明两个子空间相等#

常用方法：

1. 双包含： $$ U\subseteq W,\quad W\subseteq U. $$ 2. 有限维情形： $$ U\subseteq W,\quad \dim U=\dim W \Rightarrow U=W. $$ 3. 证明二者有同一组基。 4. 证明二者由等价向量组生成。

直和判定#

要证明 $$ V=W_1\oplus W_2, $$ 通常证明：

1. $V=W_1+W_2$；
2. $W_1\cap W_2=\{0\}$。

或者证明： 任意 $v\in V$ 都能唯一表示为 $$ v=w_1+w_2,\qquad w_i\in W_i. $$

有限维快捷法： 若 $$ W_1\cap W_2=\{0\} $$ 且 $$ \dim V=\dim W_1+\dim W_2, $$ 则 $$ V=W_1\oplus W_2. $$

Schmidt 正交化流程#

给定线性无关组 $$ \alpha_1,\dots,\alpha_n. $$

先正交化： $$ \beta_1=\alpha_1, $$ $$ \beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i. $$

再单位化： $$ e_k=\frac{\beta_k}{\|\beta_k\|}. $$

得到标准正交组 $$ e_1,\dots,e_n. $$

常见检查： $$ (\beta_k,\beta_i)=0,\qquad i<k. $$

线性映射题模板#

由基上的取值确定线性映射#

若 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是 $V$ 的基，给定 $\beta_1,\dots,\beta_n\in W$，则唯一线性映射 $T$ 满足 $$ T(\alpha_i)=\beta_i. $$

对任意 $$ x=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n, $$ 有 $$ T(x)=x_1\beta_1+\cdots+x_n\beta_n. $$

求核与像#

若线性映射矩阵为 $A$：

- 核： $$ \ker T=\{x:Ax=0\}; $$ - 像： $$ \operatorname{Im}T=L(A\text{ 的列向量}). $$

因此： $$ \dim\ker T=n-r(A),\qquad \dim\operatorname{Im}T=r(A). $$

判断单射、满射#

若 $T:F^n\to F^m$，矩阵为 $A_{m\times n}$：

• 单射 $\Longleftrightarrow r(A)=n$；
• 满射 $\Longleftrightarrow r(A)=m$；
• 双射 $\Longleftrightarrow m=n=r(A)$。

求线性映射矩阵#

设 $V$ 的基为 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$，$W$ 的基为 $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_m)$。

步骤：

1. 分别计算 $T(\alpha_j)$； 2. 把 $T(\alpha_j)$ 用 $\beta$ 线性表示： $$ T(\alpha_j)=a_{1j}\beta_1+\cdots+a_{mj}\beta_m; $$ 3. 第 $j$ 列就是 $$ (a_{1j},\dots,a_{mj})^T. $$

坐标公式： $$ [T(x)]_\beta=A[x]_\alpha. $$

矩阵可逆题模板#

证明 $A$ 可逆可选：

1. 构造 $B$ 使 $AB=BA=I$；
2. 证明 $\det A\ne0$；
3. 证明 $r(A)=n$；
4. 证明 $Ax=0$ 只有零解；
5. 证明列向量组构成 $F^n$ 的一组基；
6. 证明 $A$ 是初等矩阵乘积。

求逆方法：

1. 初等行变换： $$ (A\mid I)\to(I\mid A^{-1}). $$ 2. 伴随矩阵： $$ A^{-1}=\frac1{\det A}A^*. $$ 3. 分块矩阵法。 4. 利用矩阵多项式，例如若 $$ A^2-3A+2I=0, $$ 且常数项非零，则可解出 $A^{-1}$。

行列式计算方法#

常用方法：

1. 初等变换化三角； 2. 按行/列展开； 3. 提取公因子； 4. 递推法； 5. 加边升阶法； 6. 利用 Vandermonde 行列式： $$ \prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i). $$ 7. 分块行列式； 8. 利用 $$ \det(I_m-AB)=\det(I_n-BA). $$

注意初等变换对行列式的影响：

• 交换两行：变号；
• 某行乘 $k$：行列式乘 $k$；
• 某行加另一行倍数：行列式不变。

线性方程组题模板#

对于 $$ Ax=b $$ 先比较秩：

- 无解： $$ r(A)<r(A|b). $$ - 唯一解： $$ r(A)=r(A|b)=n. $$ - 无穷多解： $$ r(A)=r(A|b)<n. $$

通解写法：

1. 求一个特解 $x_0$； 2. 求齐次方程基础解系 $\eta_1,\dots,\eta_{n-r}$； 3. 写 $$ x=x_0+c_1\eta_1+\cdots+c_{n-r}\eta_{n-r}. $$

特征值与对角化流程#

给定 $n$ 阶矩阵 $A$。

1. 求特征多项式： $$ p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A). $$ 2. 求特征值 $\lambda_i$。 3. 对每个 $\lambda_i$ 解 $$ (A-\lambda_i I)x=0 $$ 得特征子空间 $E_{\lambda_i}$。 4. 统计 $$ \sum_i\dim E_{\lambda_i}. $$ 5. 若和为 $n$，则可对角化。

构造对角化： 取一组特征向量基作为 $P$ 的列，则 $$ P^{-1}AP=D. $$

快速充分条件：
若 $A$ 在所讨论数域中有 $n$ 个互异特征值，则可对角化。

常见反例：
有重特征值不一定不可对角化，要看特征子空间维数。

实对称矩阵题模板#

若 $A=A^T$：

1. 特征值全为实数；
2. 不同特征值的特征向量正交；
3. 一定可正交对角化。

流程：

1. 求特征值； 2. 求各特征子空间； 3. 对每个特征子空间内部做 Schmidt 正交化； 4. 合并得到标准正交特征向量组； 5. 令 $Q$ 为这些向量作列，则 $$ Q^TAQ=D. $$

二次型化标准形#

方法一：配方法。

适合变量少、交叉项明显的二次型。

方法二：合同初等变换。

对称矩阵 $A$ 同时作相同类型的行列变换，相当于求 $$ C^TAC. $$

方法三：正交变换。

若 $A$ 实对称，可正交对角化： $$ Q^TAQ=D. $$ 于是 $$ x^TAx=y^TDy. $$

正定判别模板#

实对称矩阵 $A$ 正定的等价判别：

1. $x^TAx>0$ 对一切 $x\ne0$；
2. 所有特征值 $>0$；
3. 所有顺序主子式 $>0$；
4. 存在可逆 $P$，使 $A=P^TP$。

二阶矩阵 $$ A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix} $$ 正定当且仅当 $$ a>0,\qquad ac-b^2>0. $$

三阶矩阵用顺序主子式： $$ \Delta_1>0,\quad \Delta_2>0,\quad \Delta_3>0. $$

半正定注意：
不能只看顺序主子式非负；常用“所有主子式非负”或“所有特征值非负”。

容易误用的点#

1. “向量个数等于维数”不自动推出是基，还需线性无关或能生成。
2. 行变换改变列向量本身，但不改变列向量间线性关系。
3. $AB=I$ 对方阵可推出 $BA=I$；非方阵不行。
4. 相似与相抵不同：相似是 $P^{-1}AP$，相抵是 $PAQ$。
5. 对角化不是只求出特征值，还要有足够多线性无关特征向量。
6. 实对称矩阵一定可正交对角化，一般矩阵不一定。
7. 合同用于二次型，相似用于线性变换。
8. 正定矩阵默认实对称；非对称矩阵讨论 $x^TAx$ 时只与其对称部分有关。

主要定理证明#

子空间判别法#

设 $W\subseteq V$ 且 $W\ne\varnothing$。若对任意 $x,y\in W$ 与 $\lambda,\mu\in F$ 都有 $$ \lambda x+\mu y\in W, $$ 则取 $\lambda=\mu=1$ 得加法封闭；取 $\mu=0$ 得数乘封闭。又因 $W$ 非空，取 $w\in W$，由 $0w=0$ 得零元在 $W$ 中，由 $(-1)w=-w$ 得负元在 $W$ 中，所以 $W$ 在继承的运算下构成线性空间。

反过来，若 $W$ 是子空间，则加法和数乘封闭，故任意 $\lambda x,\mu y\in W$，再相加得 $\lambda x+\mu y\in W$。

线性包的最小性#

记 $L(S)$ 为 $S$ 中有限个向量的所有线性组合。两个线性组合相加或数乘后仍是线性组合，所以 $L(S)$ 是子空间。显然 $S\subseteq L(S)$。

若 $W$ 是任意包含 $S$ 的子空间，则 $W$ 对线性组合封闭，所以 $S$ 中元素的一切线性组合都属于 $W$，即 $L(S)\subseteq W$。因此 $L(S)$ 是包含 $S$ 的最小子空间。

线性相关判别#

若有限向量组 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性相关，则存在不全为 $0$ 的 $k_i$，使 $$ k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=0. $$ 取 $k_i\ne0$，即可写成 $$ \alpha_i=-\frac1{k_i}\sum_{j\ne i}k_j\alpha_j, $$ 即某个向量可由其余向量线性表示。

反过来，若 $$ \alpha_i=\sum_{j\ne i}c_j\alpha_j, $$ 则 $$ \alpha_i-\sum_{j\ne i}c_j\alpha_j=0 $$ 给出一个不全为 $0$ 的线性关系，所以向量组线性相关。

替换定理#

设 $\beta_1,\dots,\beta_m$ 线性无关，且都可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性表示。先把 $\beta_1$ 写成 $\alpha_i$ 的线性组合，其中至少有一个系数非零。可把对应的 $\alpha_j$ 用 $\beta_1$ 与其余 $\alpha$ 表示，从而用 $\beta_1$ 替换 $\alpha_j$ 后，生成空间不变。

若已经替换了 $\beta_1,\dots,\beta_k$，则 $\beta_{k+1}$ 可由当前这组生成向量表示。由于 $\beta_1,\dots,\beta_{k+1}$ 线性无关，表达式中必有某个尚未被替换的 $\alpha$ 的系数非零，否则 $\beta_{k+1}$ 会由 $\beta_1,\dots,\beta_k$ 表示。于是可继续替换。

这个过程最多替换 $n$ 次，因此 $m\le n$。由此推出有限维空间任意两组基元素个数相同。

基的扩充与子空间维数#

设 $W\le V$，$\dim V=n$。取 $W$ 中一组线性无关向量，若它还不能生成 $W$，就加入一个不在其线性包中的 $W$ 中向量，线性无关性保持。由于 $V$ 中任意超过 $n$ 个向量必线性相关，此过程有限终止，得到 $W$ 的一组基，且元素个数不超过 $n$。故 $\dim W\le\dim V$。

若 $\dim W=\dim V$，取 $W$ 的一组基。它也是 $V$ 中含 $n$ 个向量的线性无关组，因此构成 $V$ 的基，于是 $W=V$。

维数公式#

设 $U,W$ 有限维。取 $U\cap W$ 的基 $$ \gamma_1,\dots,\gamma_r. $$ 把它扩充为 $U$ 的基 $$ \gamma_1,\dots,\gamma_r,\alpha_1,\dots,\alpha_s, $$ 再扩充为 $W$ 的基 $$ \gamma_1,\dots,\gamma_r,\beta_1,\dots,\beta_t. $$ 证明合并向量组 $$ \gamma_1,\dots,\gamma_r,\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta_1,\dots,\beta_t $$ 是 $U+W$ 的基。生成性显然。若有线性关系 $$ \sum c_i\gamma_i+\sum a_j\alpha_j+\sum b_k\beta_k=0, $$ 则 $$ \sum c_i\gamma_i+\sum a_j\alpha_j=-\sum b_k\beta_k. $$ 左边属于 $U$，右边属于 $W$，所以二者都属于 $U\cap W$。由于 $\gamma_i$ 是 $U\cap W$ 的基，结合 $U$ 的基的线性无关性，得 $a_j=0$；再由 $W$ 的基的线性无关性，得 $b_k=0,c_i=0$。故合并组线性无关。

因此 $$ \dim(U+W)=r+s+t=(r+s)+(r+t)-r =\dim U+\dim W-\dim(U\cap W). $$

直和判别#

若 $U\cap W=\{0\}$，且 $x=u_1+w_1=u_2+w_2$，其中 $u_i\in U,w_i\in W$，则 $$ u_1-u_2=w_2-w_1. $$ 左边属于 $U$，右边属于 $W$，故属于 $U\cap W$，只能为 $0$。于是 $u_1=u_2,w_1=w_2$，表示唯一。

反过来，若表示唯一，而 $z\in U\cap W$，则 $$ z=z+0=0+z $$ 是 $U+W$ 中同一向量的两种表示，故 $z=0$。因此 $U\cap W=\{0\}$。

Cauchy-Schwarz 不等式#

若 $y=0$，结论显然。设 $y\ne0$。对任意 $t\in\mathbb R$， $$ 0\le (x+ty,x+ty)=(y,y)t^2+2(x,y)t+(x,x). $$ 这是关于 $t$ 的二次多项式，且恒非负，所以判别式不大于 $0$： $$ 4(x,y)^2-4(x,x)(y,y)\le0. $$ 故 $$ |(x,y)|\le \|x\|\|y\|. $$ 等号成立当且仅当该二次式有实根，即存在 $t$ 使 $x+ty=0$，也就是 $x,y$ 线性相关。

Schmidt 正交化#

设 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 线性无关。令 $\beta_1=\alpha_1$，并递推定义 $$ \beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i. $$ 对 $j<k$，有 $$ (\beta_k,\beta_j) =(\alpha_k,\beta_j)-\frac{(\alpha_k,\beta_j)}{(\beta_j,\beta_j)}(\beta_j,\beta_j)=0, $$ 其他项因归纳假设正交而为 $0$。故 $\beta_k$ 与前面所有 $\beta_j$ 正交。

若某个 $\beta_k=0$，则 $\alpha_k$ 是 $\beta_1,\dots,\beta_{k-1}$ 的线性组合，而这些 $\beta_i$ 又由 $\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1}$ 生成，导致 $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ 线性相关，矛盾。因此 $\beta_k\ne0$。单位化 $e_k=\beta_k/\|\beta_k\|$ 得标准正交组。

秩-零化度定理#

设 $T:V\to W$ 线性，$\dim V<\infty$。取 $\ker T$ 的基 $$ u_1,\dots,u_r, $$ 扩充为 $V$ 的基 $$ u_1,\dots,u_r,v_1,\dots,v_s. $$ 证明 $T(v_1),\dots,T(v_s)$ 是 $\operatorname{Im}T$ 的基。

生成性：任意 $x\in V$ 可写为 $$ x=\sum a_i u_i+\sum b_j v_j, $$ 于是 $$ T(x)=\sum b_jT(v_j), $$ 故这些像生成 $\operatorname{Im}T$。

线性无关性：若 $$ \sum b_jT(v_j)=0, $$ 则 $T(\sum b_jv_j)=0$，所以 $\sum b_jv_j\in\ker T$，可由 $u_i$ 表示。这与扩充后的基线性无关相容只可能 $b_j=0$。因此 $$ \dim V=r+s=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T. $$

矩阵表示与基变换公式#

设 $T(\alpha_j)=\sum_i a_{ij}\beta_i$，矩阵 $A=(a_{ij})$。若 $$ x=\sum_j x_j\alpha_j, $$ 则由线性性 $$ T(x)=\sum_j x_jT(\alpha_j) =\sum_j x_j\sum_i a_{ij}\beta_i =\sum_i\left(\sum_j a_{ij}x_j\right)\beta_i. $$ 因此 $[T(x)]_\beta=A[x]_\alpha$。

若新旧基满足 $$ (\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)P, $$ 且 $x=(\alpha)X_\alpha=(\beta)X_\beta$，则 $$ (\alpha)X_\alpha=(\alpha)PX_\beta. $$ 由坐标唯一性得 $X_\alpha=PX_\beta$，即 $X_\beta=P^{-1}X_\alpha$。线性变换矩阵的相似公式 $B=P^{-1}AP$ 随之得到。

可逆矩阵等价条件#

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵。若 $A$ 可逆，则 $Ax=0$ 左乘 $A^{-1}$ 得 $x=0$，所以齐次方程只有零解。齐次方程只有零解等价于列向量线性无关，也等价于 $\operatorname{rank}A=n$。秩为 $n$ 又等价于列向量构成 $F^n$ 的基，因此对任意 $b$，方程 $Ax=b$ 有唯一解。

若对任意 $b$ 方程 $Ax=b$ 有唯一解，特别地对标准基 $e_i$，存在唯一 $x_i$ 使 $Ax_i=e_i$。令 $B=(x_1,\dots,x_n)$，则 $AB=I$。方阵左逆右逆一致，可推出 $BA=I$，故 $A$ 可逆。又 $\operatorname{rank}A=n$ 等价于 $\det A\ne0$，并且也等价于 $A$ 可化为 $I$，即 $A$ 是初等矩阵的乘积。

行列式秩定理#

设矩阵秩为 $r$。由秩的定义，可取 $r$ 个线性无关列。只看这 $r$ 列得到一个列秩为 $r$ 的子矩阵，因此其中必有 $r$ 行使对应的 $r\times r$ 子矩阵行秩也为 $r$，于是得到一个 $r$ 阶非零子式。

另一方面，若存在 $r+1$ 阶非零子式，则该子式的 $r+1$ 列线性无关，从而原矩阵秩至少为 $r+1$，矛盾。因此所有 $r+1$ 阶子式为 $0$。所以矩阵秩恰等于非零子式的最高阶数。

Cramer 法则#

若 $\det A\ne0$，则 $A$ 可逆，方程 $Ax=b$ 有唯一解。由伴随矩阵公式 $$ A^{-1}=\frac1{\det A}A^*, $$ 有 $x=A^{-1}b$。第 $i$ 个分量等于把 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $b$ 后按第 $i$ 列展开所得行列式除以 $\det A$，即 $$ x_i=\frac{\det A_i}{\det A}. $$

不同特征值的特征向量线性无关#

对特征值个数归纳。设 $\alpha_i$ 属于互异特征值 $\lambda_i$，且 $$ c_1\alpha_1+\cdots+c_m\alpha_m=0. $$ 对等式作用 $A$，得 $$ c_1\lambda_1\alpha_1+\cdots+c_m\lambda_m\alpha_m=0. $$ 用 $\lambda_m$ 乘原等式并相减，得 $$ c_1(\lambda_1-\lambda_m)\alpha_1+\cdots+c_{m-1}(\lambda_{m-1}-\lambda_m)\alpha_{m-1}=0. $$ 由归纳假设，$c_i(\lambda_i-\lambda_m)=0$，而 $\lambda_i\ne\lambda_m$，故 $c_i=0$，$i<m$。代回原式得 $c_m=0$。故线性无关。

对角化判别#

若 $A$ 可对角化，即 $P^{-1}AP=D$，设 $P$ 的列为 $p_1,\dots,p_n$，$D$ 的对角元为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$。由 $$ AP=PD $$ 可得 $Ap_i=\lambda_i p_i$。因为 $P$ 可逆，$p_i$ 构成一组基，所以存在一组由特征向量组成的基。

反过来，若存在特征向量基 $p_1,\dots,p_n$，令 $P=(p_1,\dots,p_n)$，则 $P$ 可逆且 $$ AP=P\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n), $$ 故 $$ P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n). $$

实对称矩阵正交对角化#

设 $A=A^T$。先取单位特征向量 $u$，对应实特征值 $\lambda$。对任意 $v\perp u$， $$ (Av,u)=(v,A^Tu)=(v,Au)=\lambda(v,u)=0, $$ 所以 $u^\perp$ 在 $A$ 下不变。将 $A$ 限制在 $u^\perp$ 上仍是实对称变换。对维数归纳，可在 $u^\perp$ 中取一组标准正交特征向量。连同 $u$ 得到全空间的一组标准正交特征向量。以它们为列组成正交矩阵 $Q$，便有 $$ Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n). $$

惯性定理#

实二次型经可逆线性替换可化为 $$ z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2. $$ 设同一二次型还有另一规范形，正平方项个数为 $p'$。若 $p<p'$，取第二个规范形中由正平方变量张成的 $p'$ 维子空间。它与第一个规范形中非正平方部分张成的 $n-p$ 维子空间维数和大于 $n$，故交非零。交中非零向量在第二规范形下取正值，在第一规范形下取非正值，矛盾。因此 $p\ge p'$。交换两种规范形得 $p'\ge p$，故 $p=p'$。负惯性指数同理唯一。

正定判别#

对实对称矩阵 $A$，由正交对角化，存在正交 $Q$，使 $$ Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n). $$ 令 $x=Qy$，则 $$ x^TAx=y^TQ^TAQy=\sum_{i=1}^n\lambda_i y_i^2. $$ 因此 $A$ 正定当且仅当所有 $\lambda_i>0$。

若 $A=P^TP$ 且 $P$ 可逆，则 $$ x^TAx=x^TP^TPx=\|Px\|^2>0\quad(x\ne0), $$ 所以 $A$ 正定。反过来，若 $A$ 正定，正交对角化后令 $$ D=\operatorname{diag}(\lambda_i),\qquad D^{1/2}=\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i}), $$ 则 $$ A=QDQ^T=(D^{1/2}Q^T)^T(D^{1/2}Q^T), $$ 得到 $A=P^TP$。

顺序主子式判别可由配方法或 Gaussian 消元得到：正定二次型逐步配方时每一步的主元都必须为正，而这些主元的乘积正是顺序主子式之比。因此所有顺序主子式为正当且仅当 $A$ 正定。

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