Notes 笔记

普物 I 期中复习提纲（重点速览版）

2026年4月25日普物 I 作者 qqqzj-crane 约 9 分钟

General Physics I Midterm Review Outline / 普物 I 期中复习提纲#

Based on / 依据：slides 课件、homework 作业、midterm 历年期中卷。
Focus / 重点：mechanics, rotation, oscillation, waves / 力学、转动、振动、波动。

0. Exam Map / 考点地图#

Module / 模块	Core ideas / 核心知识	Typical problems / 常见题型
Kinematics and vectors / 运动学与矢量	displacement, velocity, acceleration; components; projectile motion / 位移、速度、加速度、分量、抛体运动	Graph reading; integrate/differentiate motion functions / 图像读数、由函数求运动量
Newton's laws / 牛顿定律	free-body diagram, constraints, friction, drag / 受力图、约束、摩擦、阻力	Connected blocks, circular motion, inclined plane / 连接体、圆周运动、斜面
Work and energy / 功和能	work-energy theorem, conservative force, potential energy / 动能定理、保守力、势能	Variable force, spring, effective potential / 变力做功、弹簧、等效势
Momentum / 动量	impulse, conservation of momentum, center of mass / 冲量、动量守恒、质心	Collision, many-particle system, variable mass / 碰撞、多粒子、变质量
Gravitation and central force / 万有引力与中心力	inverse-square force, circular orbit, effective potential / 反平方力、圆轨道、等效势	Perturbed circular orbit / 受扰圆轨道
Rotation / 刚体转动	angular kinematics, torque, moment of inertia, rolling / 角运动学、力矩、转动惯量、滚动	Pulley, rolling cylinder, rod rotation / 滑轮、圆柱滚动、杆转动
Angular momentum and equilibrium / 角动量与平衡	torque-angular momentum relation, static equilibrium / 力矩与角动量、静力平衡	Hinged rod, ladder, beam / 铰接杆、梯子、梁
Oscillation / 振动	SHM, small oscillation, normal modes / 简谐运动、小振动、简正模	Coupled masses or pendulums / 耦合滑块或摆
Waves / 波动	wave equation, sinusoidal wave, standing wave, beats, Doppler-like observation / 波动方程、正弦波、驻波、拍、运动观察者	Rope/string waves, reflection, superposition / 绳波、反射、叠加

1. Kinematics and Vectors / 运动学与矢量#

Knowledge Points / 知识点#

Displacement / 位移；distance / 路程不同于 displacement / 位移。

\Delta x = x_f - x_i

Average velocity / 平均速度；average speed / 平均速率：

\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}, \qquad \bar s=\frac{\text{total distance}}{\text{total time}}

Instantaneous velocity and acceleration / 瞬时速度与加速度：

v=\frac{dx}{dt}, \qquad a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}

Constant acceleration equations / 匀加速公式：

\begin{aligned} v &= v_0+at,\\ x &= x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2,\\ v^2 &= v_0^2+2a(x-x_0). \end{aligned}

Vector decomposition / 矢量分解；magnitude / 大小：

\mathbf A=A_x\hat{\mathbf i}+A_y\hat{\mathbf j}+A_z\hat{\mathbf k}, \qquad |\mathbf A|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}

Projectile motion / 抛体运动：horizontal and vertical motions are independent / 水平与竖直方向独立。

Problem Method / 解题方法#

Choose axes / 选坐标轴：让加速度或约束方向尽量落在坐标轴上。
Write component equations / 写分量方程： $$x$$ and $$y$$ directions separately / 分方向处理。
Use graph meaning / 用图像意义： $$v-t$$ 图面积是位移，斜率是加速度； $$x-t$$ 图斜率是速度。
Check units / 检查单位：最后必须补回 SI unit / 国际单位制单位。

Vocabulary / 生词#

displacement：位移
distance：路程
instantaneous：瞬时的
derivative：导数
component：分量
trajectory：轨迹
projectile：抛体

2. Newton's Laws and Force Analysis / 牛顿定律与受力分析#

Knowledge Points / 知识点#

Newton's first law / 牛顿第一定律：inertial frame / 惯性系中，net force / 合外力为零则 $a = 0$。
Newton's second law / 牛顿第二定律：必须是矢量方程。

\sum \mathbf F=m\mathbf a

Newton's third law / 牛顿第三定律：action-reaction pair / 作用力与反作用力等大反向，作用在不同物体上。
Weight / 重力：$mg$; normal force / 支持力：垂直接触面；tension / 张力：沿绳方向。
Friction / 摩擦：

f_s\le \mu_s N, \qquad f_k=\mu_k N

Circular motion / 圆周运动：radial acceleration / 向心加速度

a_r=\frac{v^2}{r}=\omega^2r

Drag / 阻力：low speed often $R=bv$; high speed often $R=cv^2$。

Problem Method / 解题方法#

Draw a free-body diagram / 画受力图：每个物体单独画。
Identify constraints / 找约束：同一根不可伸长绳、无滑动滚动、同加速度或角加速度关系。
Project Newton's law / 投影牛顿第二定律：沿斜面、垂直斜面、径向/切向。
Do not mix action-reaction / 不要把作用反作用力放进同一个物体的受力平衡中。

Vocabulary / 生词#

force：力
net force：合力
inertial frame：惯性参考系
free-body diagram：受力图
constraint：约束
tension：张力
normal force：支持力
friction：摩擦力
radial：径向的
tangential：切向的

3. Work, Energy, and Effective Potential / 功、能量与等效势#

Knowledge Points / 知识点#

Work / 功；constant force / 恒力做功：

W=\int \mathbf F\cdot d\mathbf r, \qquad W=Fd\cos\theta

Work-kinetic energy theorem / 动能定理：

W_{\rm net}=\Delta K

Conservative force / 保守力：work independent of path / 做功与路径无关。

F_x=-\frac{dU}{dx}

Mechanical energy / 机械能：if only conservative forces act / 只有保守力时守恒。

$$ E=K+U $$

Spring potential and near-Earth gravitational potential / 弹簧势能与近地重力势能：

U_s=\frac{1}{2}kx^2, \qquad U_g=mgy

Effective potential / 等效势：把角动量项写进势能，如中心力问题

\begin{aligned} E &= \frac{1}{2}m\dot r^2+\frac{L^2}{2mr^2}+V(r),\\ U_{\rm eff}(r) &= \frac{L^2}{2mr^2}+V(r). \end{aligned}

Problem Method / 解题方法#

Decide whether energy conservation applies / 判断机械能是否守恒：有非保守力做功时要加 $W_{\rm nc}$。
For variable force / 变力：优先积分 $W = \int F dx$ 或用势能差。
For circular central-force motion / 中心力圆轨道：
- first impose equilibrium / 先用平衡条件 $dU_{\rm eff}/dr = 0$;
- then expand around equilibrium / 再在平衡点附近二阶展开；
- small oscillation frequency / 小振动角频率： $\omega^2=\frac{U_{\rm eff}''(r_0)}{m}$

Vocabulary / 生词#

work：功
kinetic energy：动能
potential energy：势能
conservative force：保守力
non-conservative force：非保守力
mechanical energy：机械能
effective potential：等效势
perturbation：扰动
approximation：近似

4. Momentum, Center of Mass, and Collision / 动量、质心与碰撞#

Knowledge Points / 知识点#

Momentum / 动量：$p = mv$; impulse / 冲量：$J = \int F dt = \Delta p$。
Conservation of momentum / 动量守恒：external impulse zero / 外冲量为零。
Center of mass / 质心：

\mathbf R_{\rm cm} =\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i}, \qquad M\mathbf a_{\rm cm}=\mathbf F_{\rm ext}

Elastic collision / 弹性碰撞：momentum and kinetic energy both conserved / 动量和动能都守恒。
Perfectly inelastic collision / 完全非弹性碰撞：objects stick together / 粘在一起，动能不守恒。
Variable mass idea / 变质量思想：系统边界要选清楚；可对“仍在运动的部分”写动量变化率。

Problem Method / 解题方法#

Define the system / 选系统：系统内力不影响总动量，外力才影响。
Use momentum conservation only in allowed directions / 只在外冲量为零的方向用动量守恒。
Collision problems / 碰撞题：先动量，若弹性再加动能；一维弹性可用相对速度反向。
Falling string type / 落绳题：可用能量求速度，再用动量流或质心运动求支持力。

Vocabulary / 生词#

momentum：动量
impulse：冲量
center of mass：质心
collision：碰撞
elastic：弹性的
inelastic：非弹性的
variable mass：变质量
external force：外力

5. Gravitation and Central Force / 万有引力与中心力#

Knowledge Points / 知识点#

Universal gravitation / 万有引力：$F = GmM/r^2$。
Gravitational potential energy / 引力势能：$U = -GmM/r$。
Circular orbit / 圆轨道：

\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}=m\omega^2r

Escape speed / 逃逸速度：

v_{\rm esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}

Kepler's third law / 开普勒第三定律：$T^2 \propto r^3$ for circular orbit / 圆轨道下成立。
For central force / 中心力：angular momentum $L = mr^2 \dot\theta$ is conserved / 角动量守恒。

Problem Method / 解题方法#

In central-force problems / 中心力题，先写守恒量：$E$ and $L$。
Replace angular motion / 消去角运动：$\dot\theta = L/(mr^2)$。
Convert to one-dimensional radial motion / 化为一维径向运动： $E=\frac{1}{2}m\dot r^2+U_{\rm eff}(r)$
For small radial perturbation / 径向小扰动：对 $U_{\rm eff}$ 在 $r_0$ 处二阶展开。

Vocabulary / 生词#

gravitation：引力
orbit：轨道
central force：中心力
radial coordinate：径向坐标
angular momentum：角动量
escape speed：逃逸速度

6. Rotation and Rolling / 刚体转动与滚动#

Knowledge Points / 知识点#

Angular displacement, velocity, acceleration / 角位移、角速度、角加速度：

\theta, \qquad \omega=\frac{d\theta}{dt}, \qquad \alpha=\frac{d\omega}{dt}

Linear-angular relations / 线量与角量：

s=r\theta, \qquad v=r\omega, \qquad a_t=r\alpha, \qquad a_r=r\omega^2

Torque and moment of inertia / 力矩与转动惯量：

\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F, \qquad \tau=rF\sin\theta, \qquad I=\int r^2\,dm

Common moments of inertia / 常见转动惯量：

\begin{array}{c|c} \text{object / 物体} & I\\ \hline \text{uniform disk/cylinder / 均匀圆盘或圆柱} & \frac{1}{2}MR^2\\ \text{rod about center / 杆绕中心} & \frac{1}{12}ML^2\\ \text{rod about end / 杆绕端点} & \frac{1}{3}ML^2 \end{array}

Rotational dynamics, kinetic energy, and rolling constraint / 转动定律、转动动能与滚动约束：

\sum\tau=I\alpha, \qquad K_{\rm rot}=\frac{1}{2}I\omega^2, \qquad v_{\rm cm}=R\omega, \qquad a_{\rm cm}=R\alpha

Problem Method / 解题方法#

For pulley and rod / 滑轮和杆：分别写平动方程、转动方程、绳约束。
For rolling down incline / 斜面滚动：
- along incline / 沿斜面：$Mg \sin \theta - f = Ma$;
- torque about CM / 绕质心：$fR = I \alpha$;
- no slip / 无滑动：$a = R \alpha$。
If the surface becomes frictionless / 若进入光滑面：friction is zero, torque about CM is zero, so $\omega$ stays constant; check whether $v_{\rm cm} = R \omega$ still holds / 无摩擦无力矩，角速度不变，检查滚动条件是否仍成立。
Use energy when constraints do no work / 约束力不做功时优先用能量。

Vocabulary / 生词#

rigid body：刚体
angular velocity：角速度
angular acceleration：角加速度
torque：力矩
moment of inertia：转动惯量
rolling without slipping：无滑动滚动
pulley：滑轮
cylinder：圆柱
incline：斜面

7. Angular Momentum and Static Equilibrium / 角动量与静力平衡#

Knowledge Points / 知识点#

Angular momentum / 角动量；fixed-axis rigid body / 定轴刚体：

\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p, \qquad L=I\omega

Torque-angular momentum relation / 力矩与角动量：$\sum \tau = dL/dt$。
Conservation of angular momentum / 角动量守恒：if external torque is zero / 外力矩为零。
Static equilibrium / 静力平衡：
- Translational equilibrium / 平动平衡：$\sum F = 0$
- Rotational equilibrium / 转动平衡：$\sum \tau = 0$
Center of gravity / 重心：uniform gravitational field / 匀强重力场中与质心重合。

Problem Method / 解题方法#

Choose torque origin smartly / 巧选力矩参考点：让未知力的力臂为零。
Write $\sum F_{x} = 0$, $\sum F_{y} = 0$, $\sum \tau = 0$ / 三类方程配合。
For just-about-to-slip or lift / 临界滑动或刚要抬起：对应支持力或静摩擦取临界值。
Check sign convention / 检查正负方向：顺时针和逆时针力矩不要混。

Vocabulary / 生词#

angular momentum：角动量
equilibrium：平衡
static equilibrium：静力平衡
translational：平动的
rotational：转动的
center of gravity：重心
pivot：转轴、支点
moment arm：力臂

8. Simple Harmonic Motion and Coupled Oscillators / 简谐运动与耦合振动#

Knowledge Points / 知识点#

Stable equilibrium / 稳定平衡：

\frac{dU}{dx}=0, \qquad \frac{d^2U}{dx^2}>0

Near stable equilibrium / 稳定点附近：

\begin{aligned} U(x)&\approx U(x_0)+\frac{1}{2}k_{\rm eff}(x-x_0)^2,\\ k_{\rm eff}&=U''(x_0). \end{aligned}

Simple harmonic motion / 简谐运动：

\begin{aligned} \ddot x+\omega^2x&=0,\\ x(t)&=A\cos(\omega t+\phi),\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}, \qquad f=\frac{1}{T}. \end{aligned}

Energy of SHM / 简谐振动能量：

E=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}m\omega^2A^2

Simple pendulum small angle / 单摆小角近似：

\ddot\theta+\frac{g}{L}\theta=0, \qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{L}}

Coupled oscillator / 耦合振子：normal modes / 简正模通常用 $x_1 + x_2$, $x_1 - x_2$ 或矩阵特征值求。

Problem Method / 解题方法#

Linearize / 线性化：small angle means $\sin \theta \approx \theta$, $\cos \theta \approx 1$。
Write equations of motion / 写运动方程：保留一阶小量，忽略二阶及更高阶。
Find normal coordinates / 找简正坐标：常见对称系统用
- in-phase mode / 同相模：$\theta_1 + \theta_2$
- out-of-phase mode / 反相模：$\theta_1 - \theta_2$
Use initial conditions / 用初始条件：把一般解中的 amplitude / 振幅和 phase / 相位解出来。
For coupled pendulums with spring / 弹簧耦合双摆：弹簧伸长通常约为 $L(\theta_2 - \theta_1)$。

Vocabulary / 生词#

oscillation：振动
simple harmonic motion：简谐运动
amplitude：振幅
phase：相位
angular frequency：角频率
period：周期
frequency：频率
stable equilibrium：稳定平衡
normal mode：简正模
coupled oscillator：耦合振子
small-angle approximation：小角近似

9. Wave Motion / 波动#

Knowledge Points / 知识点#

Wave equation / 波动方程：

\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} =v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}

General traveling waves / 行波通解：

y=f(x-vt)\quad(\text{right-moving}), \qquad y=f(x+vt)\quad(\text{left-moving})

Sinusoidal wave / 正弦波：

y=A\cos(kx-\omega t+\phi)

Relation / 关系：

v=\frac{\omega}{k}=\lambda f, \qquad k=\frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega=2\pi f

String wave speed / 弦波速度：

v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}

Superposition / 叠加原理：linear medium / 线性介质中位移代数相加。
Standing wave / 驻波：opposite directions, same frequency and amplitude / 反向等频等振幅波叠加。
Beats / 拍：close frequencies / 频率接近时，$f_{\rm beat} = |f_1 - f_2|$。
Energy density / 能量密度：small-amplitude string wave has kinetic energy density

u_K=\frac{1}{2}\mu \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2

Reflection at fixed end / 固定端反射：boundary condition / 边界条件 $y(x_{0},t)=0$，反射波相位要满足端点位移恒为零。
Moving observer / 运动观察者：replace coordinates / 坐标替换，如 observer moving at $v_0$: $x = x' + v_{0} t$。

Problem Method / 解题方法#

Determine direction / 判断传播方向：$kx - \omega t$ 向 $+x$，$kx + \omega t$ 向 $-x$。
Verify wave equation / 验证波动方程：分别求二阶时间导数和空间导数，得到 $\omega^2 = v^2 k^2$。
Reflection problem / 反射题：写入射波 + 反射波，再代固定端或自由端边界条件。
Superposition problem / 叠加题：使用三角恒等式把和化积，判断是否 standing wave / 驻波。
Moving observer problem / 运动观察者题：先做 Galilean transformation / 伽利略变换，再读出新频率。

Vocabulary / 生词#

wave：波
transverse wave：横波
longitudinal wave：纵波
wave equation：波动方程
sinusoidal wave：正弦波
wavelength：波长
wave number：波数
superposition：叠加
interference：干涉
standing wave：驻波
beat：拍
boundary condition：边界条件
reflection：反射
linear mass density：线密度

10. High-Frequency Problem Templates / 高频题型模板#

A. Perturbed Circular Motion / 受扰圆周运动#

Conserved quantities / 守恒量：central force gives angular momentum conservation / 中心力使角动量守恒；若冲击是瞬时径向，角动量通常仍不变，但机械能可能改变。
Energy form / 能量式： $E=\frac{1}{2}m\dot r^2+\frac{L^2}{2mr^2}+V(r)$
Circular orbit condition / 圆轨道条件： $\left.\frac{dU_{\rm eff}}{dr}\right|_{r_0}=0$
Small oscillation / 小振动： $\omega_r^2=\frac{U_{\rm eff}''(r_0)}{m}$
Compare with orbital frequency / 和轨道角频率比较：用 $\omega_{orb} = L/(mr_{0}^2)$。

B. Rolling Cylinder on Incline / 圆柱斜面滚动#

Top rough half / 上半段有摩擦：use rolling constraint / 用滚动约束。
Friction direction / 摩擦方向：提供转动所需力矩，通常沿斜面向上。
Energy at halfway / 到中点能量： $\frac{Mgh}{2}=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2, \qquad I=\frac{1}{2}MR^2, \qquad v=R\omega$
Bottom smooth half / 下半段光滑：no torque about CM / 对质心无力矩，$\omega$ 不变；gravity changes translational kinetic energy / 重力只增加平动动能。
Check no-slip / 检查无滑动：若 $v \ne R\omega$，则不再无滑动滚动。

C. Coupled Oscillators / 耦合振动#

Write linear equations / 写线性方程。
Try normal modes / 尝试简正模：$x_1 = x_2$ and $x_1 = -x_2$ for symmetric cases / 对称系统先试同相、反相。
Get eigenfrequencies / 求本征频率。
Superpose modes / 叠加简正模。
Use initial conditions / 套初始条件确定振幅和相位。

D. Rope or String Wave / 绳波题#

Use a small element / 取小段 $dx$。
Vertical force from tension / 张力竖直分量差： $\mu\,dx\,\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = T\left[ \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x+dx} - \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x} \right]$
Obtain wave equation / 得到波动方程： $\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = \frac{T}{\mu}\frac{\partial^2y}{\partial x^2}$
If tension changes with position / 若张力随位置变：$T = T(x)$，不能直接用正弦波作为一般解。

11. Quick Checklist Before Exam / 考前检查清单#

Can I draw a correct free-body diagram? / 我能否画出正确受力图？
Can I choose the system and conserved quantity? / 我能否选系统并判断守恒量？
Can I distinguish force, torque, work, impulse? / 我能否区分力、力矩、功、冲量？
Can I switch between linear and angular variables? / 我能否在线量和角量之间转换？
Can I linearize small oscillations? / 我能否做小振动线性化？
Can I derive the wave equation from a small string element? / 我能否由绳元推出波动方程？
Can I use boundary conditions for reflected waves? / 我能否用边界条件处理反射波？

12. Last-Day Formula Sheet / 考前公式速记#

Kinematics and Newton's law / 运动学与牛顿定律

v=\frac{dx}{dt}, \qquad a=\frac{dv}{dt}, \qquad \sum \mathbf F=m\mathbf a

Work, energy, and momentum / 功、能量与动量

\begin{aligned} W&=\int \mathbf F\cdot d\mathbf r, & W_{\rm net}&=\Delta K,\\ E&=K+U, & F_x&=-\frac{dU}{dx},\\ \mathbf p&=m\mathbf v, & \mathbf J&=\Delta \mathbf p. \end{aligned}

Center of mass and gravitation / 质心与引力

\mathbf R_{\rm cm} =\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i}, \qquad F_g=\frac{GmM}{r^2}, \qquad U_g=-\frac{GmM}{r}

Rotation and rolling / 转动与滚动

\begin{aligned} \boldsymbol\tau&=\mathbf r\times\mathbf F, & \sum\tau&=I\alpha,\\ I_{\rm disk}&=\frac{1}{2}MR^2, & I_{\rm rod,end}&=\frac{1}{3}ML^2,\\ K_{\rm rot}&=\frac{1}{2}I\omega^2, & L&=I\omega,\\ v_{\rm cm}&=R\omega, & a_{\rm cm}&=R\alpha. \end{aligned}

Oscillation and waves / 振动与波

\begin{aligned} \ddot x+\omega^2x&=0, & x(t)&=A\cos(\omega t+\phi),\\ \omega_{\rm pendulum}&=\sqrt{\frac{g}{L}}, & \frac{\partial^2y}{\partial t^2} &=v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2},\\ v_{\rm string}&=\sqrt{\frac{T}{\mu}}, & y(x,t)&=A\cos(kx-\omega t+\phi). \end{aligned}

附件#

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