Notes 笔记
普物 I 期中复习提纲（重点速览版）
General Physics I Midterm Review Outline / 普物 I 期中复习提纲#
Based on / 依据：slides课件、homework作业、midterm历年期中卷。
Focus / 重点：mechanics, rotation, oscillation, waves / 力学、转动、振动、波动。
0. Exam Map / 考点地图#
| Module / 模块 | Core ideas / 核心知识 | Typical problems / 常见题型 |
|---|---|---|
| Kinematics and vectors / 运动学与矢量 | displacement, velocity, acceleration; components; projectile motion / 位移、速度、加速度、分量、抛体运动 | Graph reading; integrate/differentiate motion functions / 图像读数、由函数求运动量 |
| Newton's laws / 牛顿定律 | free-body diagram, constraints, friction, drag / 受力图、约束、摩擦、阻力 | Connected blocks, circular motion, inclined plane / 连接体、圆周运动、斜面 |
| Work and energy / 功和能 | work-energy theorem, conservative force, potential energy / 动能定理、保守力、势能 | Variable force, spring, effective potential / 变力做功、弹簧、等效势 |
| Momentum / 动量 | impulse, conservation of momentum, center of mass / 冲量、动量守恒、质心 | Collision, many-particle system, variable mass / 碰撞、多粒子、变质量 |
| Gravitation and central force / 万有引力与中心力 | inverse-square force, circular orbit, effective potential / 反平方力、圆轨道、等效势 | Perturbed circular orbit / 受扰圆轨道 |
| Rotation / 刚体转动 | angular kinematics, torque, moment of inertia, rolling / 角运动学、力矩、转动惯量、滚动 | Pulley, rolling cylinder, rod rotation / 滑轮、圆柱滚动、杆转动 |
| Angular momentum and equilibrium / 角动量与平衡 | torque-angular momentum relation, static equilibrium / 力矩与角动量、静力平衡 | Hinged rod, ladder, beam / 铰接杆、梯子、梁 |
| Oscillation / 振动 | SHM, small oscillation, normal modes / 简谐运动、小振动、简正模 | Coupled masses or pendulums / 耦合滑块或摆 |
| Waves / 波动 | wave equation, sinusoidal wave, standing wave, beats, Doppler-like observation / 波动方程、正弦波、驻波、拍、运动观察者 | Rope/string waves, reflection, superposition / 绳波、反射、叠加 |
1. Kinematics and Vectors / 运动学与矢量#
Knowledge Points / 知识点#
- Displacement / 位移；distance / 路程不同于 displacement / 位移。
$$
\Delta x = x_f - x_i
$$
- Average velocity / 平均速度；average speed / 平均速率：
$$
\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t},
\qquad
\bar s=\frac{\text{total distance}}{\text{total time}}
$$
- Instantaneous velocity and acceleration / 瞬时速度与加速度：
$$
v=\frac{dx}{dt},
\qquad
a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}
$$
- Constant acceleration equations / 匀加速公式：
$$
\begin{aligned}
v &= v_0+at,\\
x &= x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2,\\
v^2 &= v_0^2+2a(x-x_0).
\end{aligned}
$$
- Vector decomposition / 矢量分解；magnitude / 大小：
$$
\mathbf A=A_x\hat{\mathbf i}+A_y\hat{\mathbf j}+A_z\hat{\mathbf k},
\qquad
|\mathbf A|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}
$$
- Projectile motion / 抛体运动：horizontal and vertical motions are independent / 水平与竖直方向独立。
Problem Method / 解题方法#
- Choose axes / 选坐标轴：让加速度或约束方向尽量落在坐标轴上。
- Write component equations / 写分量方程：\(x\) and \(y\) directions separately / 分方向处理。
- Use graph meaning / 用图像意义：\(v-t\) 图面积是位移，斜率是加速度；\(x-t\) 图斜率是速度。
- Check units / 检查单位：最后必须补回 SI unit / 国际单位制单位。
Vocabulary / 生词#
- displacement：位移
- distance：路程
- instantaneous：瞬时的
- derivative：导数
- component：分量
- trajectory：轨迹
- projectile：抛体
2. Newton's Laws and Force Analysis / 牛顿定律与受力分析#
Knowledge Points / 知识点#
- Newton's first law / 牛顿第一定律：inertial frame / 惯性系中，net force / 合外力为零则 $a = 0$。
- Newton's second law / 牛顿第二定律：必须是矢量方程。
$$
\sum \mathbf F=m\mathbf a
$$
- Newton's third law / 牛顿第三定律：action-reaction pair / 作用力与反作用力等大反向，作用在不同物体上。
- Weight / 重力：$mg$; normal force / 支持力：垂直接触面；tension / 张力：沿绳方向。
- Friction / 摩擦：
$$
f_s\le \mu_s N,
\qquad
f_k=\mu_k N
$$
- Circular motion / 圆周运动：radial acceleration / 向心加速度
$$
a_r=\frac{v^2}{r}=\omega^2r
$$
- Drag / 阻力：low speed often $R=bv$; high speed often $R=cv^2$。
Problem Method / 解题方法#
- Draw a free-body diagram / 画受力图：每个物体单独画。
- Identify constraints / 找约束：同一根不可伸长绳、无滑动滚动、同加速度或角加速度关系。
- Project Newton's law / 投影牛顿第二定律：沿斜面、垂直斜面、径向/切向。
- Do not mix action-reaction / 不要把作用反作用力放进同一个物体的受力平衡中。
Vocabulary / 生词#
- force：力
- net force：合力
- inertial frame：惯性参考系
- free-body diagram：受力图
- constraint：约束
- tension：张力
- normal force：支持力
- friction：摩擦力
- radial：径向的
- tangential：切向的
3. Work, Energy, and Effective Potential / 功、能量与等效势#
Knowledge Points / 知识点#
- Work / 功；constant force / 恒力做功：
$$
W=\int \mathbf F\cdot d\mathbf r,
\qquad
W=Fd\cos\theta
$$
- Work-kinetic energy theorem / 动能定理：
$$
W_{\rm net}=\Delta K
$$
- Conservative force / 保守力：work independent of path / 做功与路径无关。
$$
F_x=-\frac{dU}{dx}
$$
- Mechanical energy / 机械能：if only conservative forces act / 只有保守力时守恒。
$$
E=K+U
$$
- Spring potential and near-Earth gravitational potential / 弹簧势能与近地重力势能：
$$
U_s=\frac{1}{2}kx^2,
\qquad
U_g=mgy
$$
- Effective potential / 等效势：把角动量项写进势能，如中心力问题
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{1}{2}m\dot r^2+\frac{L^2}{2mr^2}+V(r),\\
U_{\rm eff}(r) &= \frac{L^2}{2mr^2}+V(r).
\end{aligned}
$$
Problem Method / 解题方法#
1. Decide whether energy conservation applies / 判断机械能是否守恒：有非保守力做功时要加 $W_{\rm nc}$。
2. For variable force / 变力：优先积分 $W = \int F dx$ 或用势能差。
3. For circular central-force motion / 中心力圆轨道：
- first impose equilibrium / 先用平衡条件 $dU_{\rm eff}/dr = 0$;
- then expand around equilibrium / 再在平衡点附近二阶展开；
- small oscillation frequency / 小振动角频率：
$$
\omega^2=\frac{U_{\rm eff}''(r_0)}{m}
$$
Vocabulary / 生词#
- work：功
- kinetic energy：动能
- potential energy：势能
- conservative force：保守力
- non-conservative force：非保守力
- mechanical energy：机械能
- effective potential：等效势
- perturbation：扰动
- approximation：近似
4. Momentum, Center of Mass, and Collision / 动量、质心与碰撞#
Knowledge Points / 知识点#
- Momentum / 动量：$p = mv$; impulse / 冲量：$J = \int F dt = \Delta p$。
- Conservation of momentum / 动量守恒：external impulse zero / 外冲量为零。
- Center of mass / 质心：
$$
\mathbf R_{\rm cm}
=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i},
\qquad
M\mathbf a_{\rm cm}=\mathbf F_{\rm ext}
$$
- Elastic collision / 弹性碰撞：momentum and kinetic energy both conserved / 动量和动能都守恒。
- Perfectly inelastic collision / 完全非弹性碰撞：objects stick together / 粘在一起，动能不守恒。
- Variable mass idea / 变质量思想：系统边界要选清楚；可对“仍在运动的部分”写动量变化率。
Problem Method / 解题方法#
- Define the system / 选系统：系统内力不影响总动量，外力才影响。
- Use momentum conservation only in allowed directions / 只在外冲量为零的方向用动量守恒。
- Collision problems / 碰撞题：先动量，若弹性再加动能；一维弹性可用相对速度反向。
- Falling string type / 落绳题：可用能量求速度，再用动量流或质心运动求支持力。
Vocabulary / 生词#
- momentum：动量
- impulse：冲量
- center of mass：质心
- collision：碰撞
- elastic：弹性的
- inelastic：非弹性的
- variable mass：变质量
- external force：外力
5. Gravitation and Central Force / 万有引力与中心力#
Knowledge Points / 知识点#
- Universal gravitation / 万有引力：$F = GmM/r^2$。
- Gravitational potential energy / 引力势能：$U = -GmM/r$。
- Circular orbit / 圆轨道：
$$
\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}=m\omega^2r
$$
- Escape speed / 逃逸速度：
$$
v_{\rm esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}
$$
- Kepler's third law / 开普勒第三定律：$T^2 \propto r^3$ for circular orbit / 圆轨道下成立。
- For central force / 中心力：angular momentum $L = mr^2 \dot\theta$ is conserved / 角动量守恒。
Problem Method / 解题方法#
- In central-force problems / 中心力题，先写守恒量：$E$ and $L$。
- Replace angular motion / 消去角运动：$\dot\theta = L/(mr^2)$。
- Convert to one-dimensional radial motion / 化为一维径向运动：
$$ E=\frac{1}{2}m\dot r^2+U_{\rm eff}(r) $$ 4. For small radial perturbation / 径向小扰动：对 $U_{\rm eff}$ 在 $r_0$ 处二阶展开。
Vocabulary / 生词#
- gravitation：引力
- orbit：轨道
- central force：中心力
- radial coordinate：径向坐标
- angular momentum：角动量
- escape speed：逃逸速度
6. Rotation and Rolling / 刚体转动与滚动#
Knowledge Points / 知识点#
- Angular displacement, velocity, acceleration / 角位移、角速度、角加速度：
$$
\theta,
\qquad
\omega=\frac{d\theta}{dt},
\qquad
\alpha=\frac{d\omega}{dt}
$$
- Linear-angular relations / 线量与角量：
$$
s=r\theta,
\qquad
v=r\omega,
\qquad
a_t=r\alpha,
\qquad
a_r=r\omega^2
$$
- Torque and moment of inertia / 力矩与转动惯量：
$$
\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F,
\qquad
\tau=rF\sin\theta,
\qquad
I=\int r^2\,dm
$$
- Common moments of inertia / 常见转动惯量：
$$
\begin{array}{c|c}
\text{object / 物体} & I\\
\hline
\text{uniform disk/cylinder / 均匀圆盘或圆柱} & \frac{1}{2}MR^2\\
\text{rod about center / 杆绕中心} & \frac{1}{12}ML^2\\
\text{rod about end / 杆绕端点} & \frac{1}{3}ML^2
\end{array}
$$
- Rotational dynamics, kinetic energy, and rolling constraint / 转动定律、转动动能与滚动约束：
$$
\sum\tau=I\alpha,
\qquad
K_{\rm rot}=\frac{1}{2}I\omega^2,
\qquad
v_{\rm cm}=R\omega,
\qquad
a_{\rm cm}=R\alpha
$$
Problem Method / 解题方法#
1. For pulley and rod / 滑轮和杆：分别写平动方程、转动方程、绳约束。
2. For rolling down incline / 斜面滚动：
- along incline / 沿斜面：$Mg \sin \theta - f = Ma$;
- torque about CM / 绕质心：$fR = I \alpha$;
- no slip / 无滑动：$a = R \alpha$。
3. If the surface becomes frictionless / 若进入光滑面：friction is zero, torque about CM is zero, so $\omega$ stays constant; check whether $v_{\rm cm} = R \omega$ still holds / 无摩擦无力矩，角速度不变，检查滚动条件是否仍成立。
4. Use energy when constraints do no work / 约束力不做功时优先用能量。
Vocabulary / 生词#
- rigid body：刚体
- angular velocity：角速度
- angular acceleration：角加速度
- torque：力矩
- moment of inertia：转动惯量
- rolling without slipping：无滑动滚动
- pulley：滑轮
- cylinder：圆柱
- incline：斜面
7. Angular Momentum and Static Equilibrium / 角动量与静力平衡#
Knowledge Points / 知识点#
- Angular momentum / 角动量；fixed-axis rigid body / 定轴刚体：
$$
\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p,
\qquad
L=I\omega
$$
- Torque-angular momentum relation / 力矩与角动量：$\sum \tau = dL/dt$。
- Conservation of angular momentum / 角动量守恒：if external torque is zero / 外力矩为零。
- Static equilibrium / 静力平衡：
- Translational equilibrium / 平动平衡：$\sum F = 0$
- Rotational equilibrium / 转动平衡：$\sum \tau = 0$
- Center of gravity / 重心：uniform gravitational field / 匀强重力场中与质心重合。
Problem Method / 解题方法#
- Choose torque origin smartly / 巧选力矩参考点：让未知力的力臂为零。
- Write $\sum F_{x} = 0$, $\sum F_{y} = 0$, $\sum \tau = 0$ / 三类方程配合。
- For just-about-to-slip or lift / 临界滑动或刚要抬起：对应支持力或静摩擦取临界值。
- Check sign convention / 检查正负方向：顺时针和逆时针力矩不要混。
Vocabulary / 生词#
- angular momentum：角动量
- equilibrium：平衡
- static equilibrium：静力平衡
- translational：平动的
- rotational：转动的
- center of gravity：重心
- pivot：转轴、支点
- moment arm：力臂
8. Simple Harmonic Motion and Coupled Oscillators / 简谐运动与耦合振动#
Knowledge Points / 知识点#
- Stable equilibrium / 稳定平衡：
$$
\frac{dU}{dx}=0,
\qquad
\frac{d^2U}{dx^2}>0
$$
- Near stable equilibrium / 稳定点附近：
$$
\begin{aligned}
U(x)&\approx U(x_0)+\frac{1}{2}k_{\rm eff}(x-x_0)^2,\\
k_{\rm eff}&=U''(x_0).
\end{aligned}
$$
- Simple harmonic motion / 简谐运动：
$$
\begin{aligned}
\ddot x+\omega^2x&=0,\\
x(t)&=A\cos(\omega t+\phi),\\
T&=\frac{2\pi}{\omega},
\qquad
f=\frac{1}{T}.
\end{aligned}
$$
- Energy of SHM / 简谐振动能量：
$$
E=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}m\omega^2A^2
$$
- Simple pendulum small angle / 单摆小角近似：
$$
\ddot\theta+\frac{g}{L}\theta=0,
\qquad
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}
$$
- Coupled oscillator / 耦合振子：normal modes / 简正模通常用 $x_1 + x_2$, $x_1 - x_2$ 或矩阵特征值求。
Problem Method / 解题方法#
1. Linearize / 线性化：small angle means $\sin \theta \approx \theta$, $\cos \theta \approx 1$。
2. Write equations of motion / 写运动方程：保留一阶小量，忽略二阶及更高阶。
3. Find normal coordinates / 找简正坐标：常见对称系统用
- in-phase mode / 同相模：$\theta_1 + \theta_2$
- out-of-phase mode / 反相模：$\theta_1 - \theta_2$
4. Use initial conditions / 用初始条件：把一般解中的 amplitude / 振幅 和 phase / 相位 解出来。
5. For coupled pendulums with spring / 弹簧耦合双摆：弹簧伸长通常约为 $L(\theta_2 - \theta_1)$。
Vocabulary / 生词#
- oscillation：振动
- simple harmonic motion：简谐运动
- amplitude：振幅
- phase：相位
- angular frequency：角频率
- period：周期
- frequency：频率
- stable equilibrium：稳定平衡
- normal mode：简正模
- coupled oscillator：耦合振子
- small-angle approximation：小角近似
9. Wave Motion / 波动#
Knowledge Points / 知识点#
- Wave equation / 波动方程：
$$
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
=v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
$$
- General traveling waves / 行波通解：
$$
y=f(x-vt)\quad(\text{right-moving}),
\qquad
y=f(x+vt)\quad(\text{left-moving})
$$
- Sinusoidal wave / 正弦波：
$$
y=A\cos(kx-\omega t+\phi)
$$
- Relation / 关系：
$$
v=\frac{\omega}{k}=\lambda f,
\qquad
k=\frac{2\pi}{\lambda},
\qquad
\omega=2\pi f
$$
- String wave speed / 弦波速度：
$$
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
$$
- Superposition / 叠加原理：linear medium / 线性介质中位移代数相加。
- Standing wave / 驻波：opposite directions, same frequency and amplitude / 反向等频等振幅波叠加。
- Beats / 拍：close frequencies / 频率接近时，$f_{\rm beat} = |f_1 - f_2|$。
- Energy density / 能量密度：small-amplitude string wave has kinetic energy density
$$
u_K=\frac{1}{2}\mu
\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2
$$
- Reflection at fixed end / 固定端反射：boundary condition / 边界条件 $y(x_{0},t)=0$，反射波相位要满足端点位移恒为零。
- Moving observer / 运动观察者：replace coordinates / 坐标替换，如 observer moving at $v_0$: $x = x' + v_{0} t$。
Problem Method / 解题方法#
- Determine direction / 判断传播方向：$kx - \omega t$ 向 $+x$，$kx + \omega t$ 向 $-x$。
- Verify wave equation / 验证波动方程：分别求二阶时间导数和空间导数，得到 $\omega^2 = v^2 k^2$。
- Reflection problem / 反射题：写入射波 + 反射波，再代固定端或自由端边界条件。
- Superposition problem / 叠加题：使用三角恒等式把和化积，判断是否 standing wave / 驻波。
- Moving observer problem / 运动观察者题：先做 Galilean transformation / 伽利略变换，再读出新频率。
Vocabulary / 生词#
- wave：波
- transverse wave：横波
- longitudinal wave：纵波
- wave equation：波动方程
- sinusoidal wave：正弦波
- wavelength：波长
- wave number：波数
- superposition：叠加
- interference：干涉
- standing wave：驻波
- beat：拍
- boundary condition：边界条件
- reflection：反射
- linear mass density：线密度
10. High-Frequency Problem Templates / 高频题型模板#
A. Perturbed Circular Motion / 受扰圆周运动#
- Conserved quantities / 守恒量：central force gives angular momentum conservation / 中心力使角动量守恒；若冲击是瞬时径向，角动量通常仍不变，但机械能可能改变。
- Energy form / 能量式：
$$
E=\frac{1}{2}m\dot r^2+\frac{L^2}{2mr^2}+V(r)
$$
- Circular orbit condition / 圆轨道条件：
$$
\left.\frac{dU_{\rm eff}}{dr}\right|_{r_0}=0
$$
- Small oscillation / 小振动：
$$
\omega_r^2=\frac{U_{\rm eff}''(r_0)}{m}
$$
- Compare with orbital frequency / 和轨道角频率比较：用 $\omega_{orb} = L/(mr_{0}^2)$。
B. Rolling Cylinder on Incline / 圆柱斜面滚动#
- Top rough half / 上半段有摩擦：use rolling constraint / 用滚动约束。
- Friction direction / 摩擦方向：提供转动所需力矩，通常沿斜面向上。
- Energy at halfway / 到中点能量：
$$
\frac{Mgh}{2}=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2,
\qquad
I=\frac{1}{2}MR^2,
\qquad
v=R\omega
$$
- Bottom smooth half / 下半段光滑：no torque about CM / 对质心无力矩，$\omega$ 不变；gravity changes translational kinetic energy / 重力只增加平动动能。
- Check no-slip / 检查无滑动：若 $v \ne R\omega$，则不再无滑动滚动。
C. Coupled Oscillators / 耦合振动#
- Write linear equations / 写线性方程。
- Try normal modes / 尝试简正模：$x_1 = x_2$ and $x_1 = -x_2$ for symmetric cases / 对称系统先试同相、反相。
- Get eigenfrequencies / 求本征频率。
- Superpose modes / 叠加简正模。
- Use initial conditions / 套初始条件确定振幅和相位。
D. Rope or String Wave / 绳波题#
- Use a small element / 取小段 $dx$。
- Vertical force from tension / 张力竖直分量差：
$$
\mu\,dx\,\frac{\partial^2y}{\partial t^2}
=
T\left[
\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x+dx}
-
\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x}
\right]
$$
- Obtain wave equation / 得到波动方程：
$$ \frac{\partial^2y}{\partial t^2} = \frac{T}{\mu}\frac{\partial^2y}{\partial x^2} $$ 4. If tension changes with position / 若张力随位置变：$T = T(x)$，不能直接用正弦波作为一般解。
11. Quick Checklist Before Exam / 考前检查清单#
- Can I draw a correct free-body diagram? / 我能否画出正确受力图？
- Can I choose the system and conserved quantity? / 我能否选系统并判断守恒量？
- Can I distinguish force, torque, work, impulse? / 我能否区分力、力矩、功、冲量？
- Can I switch between linear and angular variables? / 我能否在线量和角量之间转换？
- Can I linearize small oscillations? / 我能否做小振动线性化？
- Can I derive the wave equation from a small string element? / 我能否由绳元推出波动方程？
- Can I use boundary conditions for reflected waves? / 我能否用边界条件处理反射波？
12. Last-Day Formula Sheet / 考前公式速记#
Kinematics and Newton's law / 运动学与牛顿定律
$$
v=\frac{dx}{dt},
\qquad
a=\frac{dv}{dt},
\qquad
\sum \mathbf F=m\mathbf a
$$
Work, energy, and momentum / 功、能量与动量
$$
\begin{aligned}
W&=\int \mathbf F\cdot d\mathbf r,
&
W_{\rm net}&=\Delta K,\\
E&=K+U,
&
F_x&=-\frac{dU}{dx},\\
\mathbf p&=m\mathbf v,
&
\mathbf J&=\Delta \mathbf p.
\end{aligned}
$$
Center of mass and gravitation / 质心与引力
$$
\mathbf R_{\rm cm}
=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i},
\qquad
F_g=\frac{GmM}{r^2},
\qquad
U_g=-\frac{GmM}{r}
$$
Rotation and rolling / 转动与滚动
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol\tau&=\mathbf r\times\mathbf F,
&
\sum\tau&=I\alpha,\\
I_{\rm disk}&=\frac{1}{2}MR^2,
&
I_{\rm rod,end}&=\frac{1}{3}ML^2,\\
K_{\rm rot}&=\frac{1}{2}I\omega^2,
&
L&=I\omega,\\
v_{\rm cm}&=R\omega,
&
a_{\rm cm}&=R\alpha.
\end{aligned}
$$
Oscillation and waves / 振动与波
$$
\begin{aligned}
\ddot x+\omega^2x&=0,
&
x(t)&=A\cos(\omega t+\phi),\\
\omega_{\rm pendulum}&=\sqrt{\frac{g}{L}},
&
\frac{\partial^2y}{\partial t^2}
&=v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2},\\
v_{\rm string}&=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
&
y(x,t)&=A\cos(kx-\omega t+\phi).
\end{aligned}
$$
附件#
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