qqqzj@Crane
Back to home / 返回首页

Notes 笔记

普物 I 期中复习提纲（力学全覆盖版）

普物 I 作者 ZijunQiu-a 约 14 分钟

General Physics I Midterm Review Outline / 普物 I 期中复习提纲（Mechanics 讲义全覆盖版）#

Main reference / 主参考：普物I/reference books/mechanics_0306.pdf
Supplement / 补充参考：slides 课件、homework 作业、midterm 历年期中卷。
Goal / 目标：按教学参考书 General Physics I Classical Mechanics 的章节尽量完整覆盖知识点，同时保留期中常考解题方法。

How To Use This Outline / 使用方式#

  • First pass / 第一遍：按 Chapter 1-10 顺序扫知识点，补齐概念。
  • Second pass / 第二遍：只看 Problem Methods / 解题方法 和 Formula Checklist / 公式清单。
  • Final pass / 考前最后一遍：看每章 Vocabulary / 生词，确保英文题干能读懂。

Reference Book Coverage Map / 参考书覆盖地图#

Book chapter / 讲义章节Sections / 小节Covered here / 本提纲位置
1 Kinematics / 运动学1.1 1D motion; 1.2 vectors; 1.3 higher-dimensional motion; 1.4 frame of referenceCh. 1
2 Newton's Laws / 牛顿定律three laws; inertial/non-inertial frames; applications; dragCh. 2
3 Work and Energy / 功和能generic forces; work; power; work-energy theorem; potential; conservation; equilibriumCh. 3
4 Momentum / 动量momentum from Newton's law; conservation; collisions; many-particle systemCh. 4
5 Gravitation / 万有引力Kepler's laws; Newtonian gravity; satellites; escape speedCh. 5
6 Rigid Bodies / 刚体rotational kinematics; rotational dynamics; rollingCh. 6
7 Angular Momentum / 角动量particle angular momentum; torque; conservation; rigid bodiesCh. 7
8 Simple Harmonic Motion / 简谐运动equilibrium; SHM; stable equilibrium; damped; forced; coupled; molecules and solidsCh. 8
9 Wave Motion / 波动wave function; superposition; reflection; waves in solid; wave equationCh. 9
10 Sinusoidal Waves / 正弦波sinusoidal waves; energy transfer; beating; standing waves; Fourier; DopplerCh. 10

Ch. 1 Kinematics / 运动学#

1.1 Motion in One Dimension / 一维运动#

Knowledge Points / 知识点

  • Particle approximation / 质点近似：object size is negligible compared with other length scales / 物体尺寸相对问题尺度可忽略。
  • Position / 位置：$x(t)$; displacement / 位移：
$$ \Delta x=x_f-x_i $$
  • Distance / 路程：path length / 路径长度，总是非负；displacement / 位移可正可负。
  • Average velocity and speed / 平均速度与平均速率：
$$ \bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}, \qquad \bar s=\frac{\text{distance}}{\text{time}} $$
  • Instantaneous velocity and acceleration / 瞬时速度与加速度：
$$ v=\frac{dx}{dt}, \qquad a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2} $$
  • Integral relations / 积分关系：
$$ v(t)=v_0+\int a(t)\,dt, \qquad x(t)=x_0+\int v(t)\,dt $$
  • Constant acceleration / 匀加速：
$$ \begin{aligned} v&=v_0+at,\\ x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2,\\ v^2&=v_0^2+2a(x-x_0). \end{aligned} $$
  • SI units and dimensions / 国际单位与量纲：length \(L\), mass \(M\), time \(T\); dimension check / 量纲检查是防错工具。

Problem Methods / 解题方法

  1. For function problems / 函数题：differentiate to get velocity and acceleration / 求导得速度、加速度。
  2. For graph problems / 图像题：slope gives derivative / 斜率给导数；area gives integral / 面积给积分。
  3. For constant acceleration / 匀加速题：先判断 $a$ 是否常量，不要乱用匀加速公式。
  4. Always attach units / 最后补单位；中间统一化成 SI units / 国际单位。
1.2 Vectors / 矢量#

Knowledge Points / 知识点

  • Vector / 矢量：has magnitude and direction and obeys vector algebra / 有大小方向且满足矢量代数。
  • Scalar / 标量：has magnitude only / 只有大小。
  • Unit vector / 单位矢量：
$$ \hat{\mathbf A}=\frac{\mathbf A}{|\mathbf A|} $$
  • Vector addition / 矢量加法：head-to-tail rule / 首尾相接法；component addition / 分量相加。
  • Cartesian components and magnitude / 笛卡尔分量与大小：
$$ \mathbf A=A_x\hat{\mathbf i}+A_y\hat{\mathbf j}+A_z\hat{\mathbf k}, \qquad |\mathbf A|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2} $$
  • Polar coordinates / 极坐标：
$$ x=r\cos\phi, \qquad y=r\sin\phi $$
  • Polar unit vectors / 极坐标单位矢量：
$$ \hat{\mathbf u}_r\quad(\text{radial / 径向}), \qquad \hat{\mathbf u}_\phi\quad(\text{tangential / 切向}) $$

Their directions change with $\phi$ / 方向随角度变化。

Problem Methods / 解题方法

  1. Decompose first / 先分解：把矢量写成分量再算。
  2. Use polar coordinates for circular/central motion / 圆周或中心力问题优先考虑极坐标。
  3. Be careful with time-dependent unit vectors / 注意随时间变化的单位矢量，极坐标不能像固定基矢那样直接忽略导数。
1.3 Motion in Higher Dimensions / 高维运动#

Knowledge Points / 知识点

  • Position, velocity, acceleration vectors / 位置、速度、加速度矢量：
$$ \mathbf r=x\hat{\mathbf i}+y\hat{\mathbf j}+z\hat{\mathbf k}, \qquad \mathbf v=\frac{d\mathbf r}{dt}, \qquad \mathbf a=\frac{d\mathbf v}{dt} $$
  • Component equations / 分量方程：$x$, $y$, $z$ directions are independent when axes are orthogonal / 正交方向可分别处理。
  • Projectile motion / 抛体运动：when air resistance is ignored / 忽略空气阻力，
$$ a_x=0, \qquad a_y=-g $$
  • Circular motion / 圆周运动：
$$ a_r=-\frac{v^2}{R}=-\omega^2R, \qquad a_t=R\alpha $$

Problem Methods / 解题方法

  1. Vector equation first / 先写矢量式，再投影。
  2. For projectile motion / 抛体运动：水平匀速，竖直匀加速。
  3. For circular motion / 圆周运动：径向负责速度方向变化，切向负责速率变化。
1.4 Frame of Reference / 参考系#

Knowledge Points / 知识点

  • Frame of reference / 参考系：observer + coordinate system + clock / 观察者、坐标系、时钟。
  • Galilean transformation / 伽利略变换：if $S'$ moves with velocity $\mathbf V$ relative to $S$,
$$ \mathbf r=\mathbf r'+\mathbf Vt, \qquad \mathbf v=\mathbf v'+\mathbf V, \qquad \mathbf a=\mathbf a' $$
  • Inertial frame / 惯性系：Newton's laws hold without fictitious forces / 牛顿定律可直接使用。

Problem Methods / 解题方法

  1. Choose the easiest inertial frame / 选择最方便的惯性系。
  2. Relative motion problems / 相对运动题：先写 $r_A - r_B$ 或速度关系。
  3. Do not use Newton's second law directly in accelerating frames unless adding fictitious force / 加速参考系要加伪力。

Vocabulary / 生词

  • kinematics：运动学
  • dynamics：动力学
  • particle approximation：质点近似
  • displacement：位移
  • distance：路程
  • instantaneous：瞬时的
  • derivative：导数
  • integral：积分
  • dimension：量纲
  • vector：矢量
  • scalar：标量
  • unit vector：单位矢量
  • Cartesian coordinate：笛卡尔坐标
  • polar coordinate：极坐标
  • frame of reference：参考系
  • Galilean transformation：伽利略变换

Ch. 2 Newton's Laws of Motion / 牛顿运动定律#

Knowledge Points / 知识点#
  • Newton's first law / 牛顿第一定律：no net external force means constant velocity / 无合外力则速度恒定。
  • Inertia / 惯性：resistance to change of velocity / 抵抗速度改变的性质。
  • Newton's second and third laws / 牛顿第二、第三定律：
$$ \sum\mathbf F=m\mathbf a, \qquad \mathbf F_{12}=-\mathbf F_{21} $$
  • Mass vs weight / 质量与重量：mass is intrinsic / 质量是物体属性；weight is gravitational force / 重量是重力。
  • Non-inertial force / 非惯性力、伪力：in frame accelerating with $\mathbf a_{\rm frame}$, add
$$ \mathbf F_{\rm fictitious}=-m\mathbf a_{\rm frame} $$
  • Galilean invariance / 伽利略不变性：Newton's second law has the same form in all inertial frames / 牛顿第二定律在各惯性系同形式。
  • Common forces / 常见力：
  • gravity / 重力：$mg$
  • normal force / 支持力：perpendicular to surface / 垂直接触面
  • tension / 张力：along string / 沿绳
  • friction / 摩擦力：static $f_{s} \le \mu_{s} N$; kinetic $f_{k} = \mu_{k} N$
  • drag / 阻力：$R = bv$ or $R = cv^2$, opposite velocity / 方向与速度相反
  • Terminal speed / 终端速度：drag balances gravity / 阻力与重力平衡时速度不再增加。
Problem Methods / 解题方法#
  1. Choose inertial frame and axes / 选择惯性系和坐标轴。
  2. Draw a free-body diagram for each object / 每个物体单独画受力图。
  3. Write Newton's second law in components / 分量写牛顿第二定律。
$$ \sum F_x=ma_x, \qquad \sum F_y=ma_y $$
  1. Add constraints / 加约束：same rope tension if massless rope and frictionless pulley / 理想绳滑轮张力相同；same acceleration magnitude for connected bodies / 连接体加速度大小相关。
  2. For circular motion / 圆周运动：radial equation often
$$ \sum F_r=\frac{mv^2}{r} $$
  1. For drag / 阻力题：写微分方程，如 falling with linear drag：
$$ mg-bv=m\frac{dv}{dt}, \qquad v_t=\frac{mg}{b} $$
Vocabulary / 生词#
  • force：力
  • net external force：合外力
  • inertia：惯性
  • inertial frame：惯性系
  • non-inertial frame：非惯性系
  • fictitious force：伪力
  • Galilean invariance：伽利略不变性
  • tension：张力
  • normal force：支持力
  • friction：摩擦
  • drag force：阻力
  • terminal speed：终端速度

Ch. 3 Work and Energy / 功和能量#

3.1 Generic Forces / 一般力下的运动#

Knowledge Points / 知识点

  • If force depends on position / 若力依赖位置：
$$ a=v\frac{dv}{dx}, \qquad m\frac{dv}{dt}=F(x) \quad\Longrightarrow\quad mv\frac{dv}{dx}=F(x) $$
  • If force depends on time / 若力依赖时间：integrate acceleration over time / 对时间积分。
  • If force depends on velocity / 若力依赖速度：solve differential equation / 解微分方程。
3.2 Work and Power / 功和功率#

Knowledge Points / 知识点

  • Work and power / 功和功率：
$$ W=\int \mathbf F\cdot d\mathbf r, \qquad W=Fd\cos\theta, \qquad P=\frac{dW}{dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v $$
  • Work is scalar / 功是标量；positive work increases kinetic energy / 正功增加动能。
3.3 Work-Kinetic Energy Theorem / 动能定理#
  • Kinetic energy and work-kinetic theorem / 动能与动能定理：
$$ K=\frac{1}{2}mv^2, \qquad W_{\rm net}=\Delta K $$
3.4-3.6 Potential and Energy Conservation / 势能与能量守恒#
  • Conservative force / 保守力：work independent of path / 做功与路径无关。
  • Potential energy and force / 势能与力：
$$ \Delta U=-W_{\rm conservative}, \qquad F_x=-\frac{dU}{dx}, \qquad \mathbf F=-\nabla U $$
  • Common potentials / 常见势能：
$$ U_g=mgy, \qquad F=-kx, \qquad U_s=\frac{1}{2}kx^2 $$
  • Mechanical energy and non-conservative work / 机械能与非保守力做功：
$$ E=K+U, \qquad \Delta K+\Delta U=W_{\rm nc} $$
3.7 Equilibrium / 平衡#
  • Equilibrium / 平衡：
$$ F=0, \qquad \frac{dU}{dx}=0 $$
  • Stability / 稳定性：
$$ \begin{cases} \dfrac{d^2U}{dx^2}>0, & \text{stable equilibrium},\\[4pt] \dfrac{d^2U}{dx^2}<0, & \text{unstable equilibrium}. \end{cases} $$
  • Neutral equilibrium / 随遇平衡：nearby potential nearly flat / 附近势能近似平坦。
Problem Methods / 解题方法#
  1. Ask first: force method or energy method? / 先判断用力还是能量。
  2. For displacement-dependent force / 位移相关力：$W = \int F dx$。
  3. For path-independent force / 保守力：use potential energy / 用势能。
  4. For friction / 有摩擦：write $W_{\rm friction}$ explicitly / 显式写摩擦做功。
  5. For equilibrium / 平衡题：solve $dU/dx=0$; judge stability by second derivative / 二阶导判断稳定性。
Vocabulary / 生词#
  • work：功
  • power：功率
  • kinetic energy：动能
  • potential energy：势能
  • conservative force：保守力
  • non-conservative force：非保守力
  • path independent：路径无关
  • equilibrium：平衡
  • stable：稳定的
  • unstable：不稳定的

Ch. 4 Momentum / 动量#

Knowledge Points / 知识点#
  • Momentum, Newton's second law, and impulse / 动量、牛顿第二定律和冲量：
$$ \mathbf p=m\mathbf v, \qquad \mathbf F_{\rm net}=\frac{d\mathbf p}{dt}, \qquad \mathbf J=\int\mathbf F\,dt=\Delta\mathbf p $$
  • Conservation of momentum / 动量守恒：if total external force or impulse is zero / 外力或外冲量为零。
  • Inelastic collision / 非弹性碰撞：kinetic energy not conserved / 动能不守恒。
  • Perfectly inelastic collision / 完全非弹性碰撞：objects stick together / 碰后粘在一起。
  • Elastic collision / 弹性碰撞：momentum and kinetic energy both conserved / 动量、动能都守恒。
  • Center of mass and center-of-mass motion / 质心与质心运动：
$$ \mathbf R_{\rm cm}=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{M}, \qquad M\mathbf a_{\rm cm}=\mathbf F_{\rm ext} $$
  • Internal forces / 内力：cancel in total momentum if Newton's third law holds / 对总动量相互抵消。
Problem Methods / 解题方法#
  1. Choose system / 选系统：判断哪些力是外力。
  2. Use conservation component-wise / 分方向使用守恒：外冲量为零的方向才守恒。
  3. Collision sequence / 碰撞顺序：先动量，再看是否能量守恒。
  4. For many-particle systems / 多粒子系统：用质心方程简化整体运动。
  5. For variable-mass-looking problems / 类变质量题：小心系统边界和动量流。
Vocabulary / 生词#
  • momentum：动量
  • impulse：冲量
  • collision：碰撞
  • elastic collision：弹性碰撞
  • inelastic collision：非弹性碰撞
  • center of mass：质心
  • internal force：内力
  • external force：外力

Ch. 5 The Law of Gravitation / 万有引力定律#

Knowledge Points / 知识点#
  • Kepler's first law / 开普勒第一定律：planet orbits are ellipses with the Sun at one focus / 行星绕太阳椭圆运动，太阳在焦点。
  • Kepler's second law / 开普勒第二定律：equal areas in equal times / 相等时间扫过相等面积。
  • Kepler's third law / 开普勒第三定律：$T^2 \propto a^3$ / 周期平方与半长轴三次方成正比。
  • Universal gravitation and gravitational field / 万有引力与引力场：
$$ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}, \qquad g=\frac{GM}{r^2} $$
  • Shell theorem idea / 球壳定理思想：outside a spherical mass distribution acts like point mass at center / 球外等效为中心点质量。
  • Satellite circular orbit / 卫星圆轨道：
$$ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} $$
  • Orbital speed, period, potential energy, and escape speed / 轨道速度、周期、势能、逃逸速度：
$$ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \qquad U=-\frac{GMm}{r}, \qquad v_{\rm esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}} $$
Problem Methods / 解题方法#
  1. Circular orbit / 圆轨道：set gravity equal to centripetal force / 万有引力提供向心力。
  2. Escape problem / 逃逸题：set final energy at infinity to zero / 无穷远处总能量取零。
  3. Satellite period / 卫星周期：combine $v = 2\pi r/T$ with gravity equation。
  4. Central-force small perturbation / 中心力小扰动：write effective potential / 写等效势。
Vocabulary / 生词#
  • gravitation：引力
  • universal gravitation：万有引力
  • orbit：轨道
  • ellipse：椭圆
  • focus：焦点
  • satellite：卫星
  • escape speed：逃逸速度
  • gravitational potential energy：引力势能

Ch. 6 Rigid Bodies / 刚体#

6.1 Rotational Kinematics / 转动运动学#
  • Rigid body / 刚体：distances between all mass elements remain fixed / 各质点间距离不变。
  • Angular displacement / 角位移：$\theta$。
  • Angular velocity / 角速度：$\omega = d\theta/dt$。
  • Angular acceleration / 角加速度：$\alpha = d\omega/dt$。
  • Constant angular acceleration / 匀角加速度公式：
$$ \begin{aligned} \omega&=\omega_0+\alpha t,\\ \theta&=\theta_0+\omega_0t+\frac{1}{2}\alpha t^2,\\ \omega^2&=\omega_0^2+2\alpha(\theta-\theta_0). \end{aligned} $$
  • Linear-angular relations / 线量角量关系：
$$ s=r\theta, \qquad v_t=r\omega, \qquad a_t=r\alpha, \qquad a_r=r\omega^2 $$
6.2 Rotational Dynamics / 转动动力学#
  • Torque and moment of inertia / 力矩与转动惯量：
$$ \boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F, \qquad \tau=rF\sin\theta, \qquad I=\int r^2\,dm $$
  • Rotation dynamics, energy, work, power / 转动动力学、能量、功、功率：
$$ \sum\tau=I\alpha, \qquad K=\frac{1}{2}I\omega^2, \qquad W=\int\tau\,d\theta, \qquad P=\tau\omega $$
  • Parallel-axis theorem / 平行轴定理：
$$ I=I_{\rm cm}+Md^2 $$
  • Common moments of inertia / 常见转动惯量：
$$ \begin{array}{c|c} \text{object / 物体} & I\\ \hline \text{point mass / 质点} & mr^2\\ \text{hoop / 圆环} & MR^2\\ \text{solid disk or cylinder / 实心圆盘或圆柱} & \frac{1}{2}MR^2\\ \text{solid sphere / 实心球} & \frac{2}{5}MR^2\\ \text{thin spherical shell / 薄球壳} & \frac{2}{3}MR^2\\ \text{rod about center / 杆绕中心} & \frac{1}{12}ML^2\\ \text{rod about end / 杆绕端点} & \frac{1}{3}ML^2 \end{array} $$
6.3 Rolling / 滚动#
  • Rolling without slipping and rolling kinetic energy / 无滑动滚动与滚动动能：
$$ v_{\rm cm}=R\omega, \qquad a_{\rm cm}=R\alpha, \qquad K=\frac{1}{2}Mv_{\rm cm}^2+\frac{1}{2}I_{\rm cm}\omega^2 $$
  • Static friction in rolling / 滚动中的静摩擦：may do no work for pure rolling on fixed ground / 对固定地面纯滚动可不做功，但提供力矩。
Problem Methods / 解题方法#
  1. Separate translation and rotation / 平动和转动分开写。
  2. For rolling incline / 斜面滚动：
$$ Mg\sin\theta-f=Ma, \qquad fR=I\alpha, \qquad a=R\alpha $$
  1. For pulleys / 滑轮题：block equation + pulley torque equation + no-slip string constraint。
  2. Use energy when rolling constraint holds / 无滑动滚动且静摩擦不耗能时可用能量。
  3. If surface is frictionless / 光滑面：no torque about CM, angular speed may remain constant / 对质心无力矩，角速度不变。
Vocabulary / 生词#
  • rigid body：刚体
  • rotational kinematics：转动运动学
  • torque：力矩
  • moment of inertia：转动惯量
  • parallel-axis theorem：平行轴定理
  • rolling：滚动
  • rolling without slipping：无滑动滚动
  • angular acceleration：角加速度

Ch. 7 Angular Momentum / 角动量#

Knowledge Points / 知识点#
  • Angular momentum, torque, and theorem / 角动量、力矩与定理：
$$ \mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p, \qquad \boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F, \qquad \boldsymbol\tau_{\rm net}=\frac{d\mathbf L}{dt} $$
  • Conservation of angular momentum / 角动量守恒：if net external torque is zero / 合外力矩为零。
  • System of particles / 质点系：internal torques cancel under central internal forces / 中心内力下内力矩抵消。
  • Rigid body fixed-axis angular momentum / 刚体定轴角动量：
$$ L=I\omega $$
  • Central force / 中心力：torque about center is zero, so angular momentum is conserved / 关于力心力矩为零，角动量守恒。
Problem Methods / 解题方法#
  1. Choose origin / 选参考点：角动量和力矩都依赖参考点。
  2. If force passes through origin / 若力过原点：torque is zero / 力矩为零。
  3. Use angular momentum conservation for sudden events / 突然事件、碰撞、径向冲击常用角动量守恒。
  4. For rigid bodies / 刚体题：connect
$$ \tau=I\alpha, \qquad L=I\omega, \qquad K=\frac{1}{2}I\omega^2 $$
Vocabulary / 生词#
  • angular momentum：角动量
  • torque：力矩
  • external torque：外力矩
  • central force：中心力
  • fixed axis：定轴
  • conservation：守恒

Ch. 8 Simple Harmonic Motion / 简谐运动#

8.1 Equilibrium / 平衡#
  • Equilibrium of point mass and extended body / 质点与刚体平衡：
$$ \sum\mathbf F=0, \qquad \sum\tau=0 $$
  • Static equilibrium / 静力平衡：linear and angular acceleration both zero, object at rest / 线加速度和角加速度为零且静止。
8.2 Harmonic Oscillator and SHM / 谐振子与简谐运动#
  • Hooke's law, SHM equation, and solution / 胡克定律、简谐方程与解：
$$ F=-kx, \qquad m\ddot x=-kx, \qquad \ddot x+\omega^2x=0 $$
$$ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad x(t)=A\cos(\omega t+\phi) $$
  • Velocity and acceleration / 速度与加速度：
$$ v=-A\omega\sin(\omega t+\phi), \qquad a=-\omega^2x $$
  • Energy / 能量：
$$ E=\frac{1}{2}kA^2 =\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 $$
8.3 Motion Near Stable Equilibrium / 稳定平衡附近的小振动#
  • Taylor expansion / 泰勒展开：
$$ U(x)\approx U(x_0)+\frac{1}{2}U''(x_0)(x-x_0)^2 $$
  • Effective spring constant and small oscillation frequency / 等效劲度系数与小振动频率：
$$ k_{\rm eff}=U''(x_0), \qquad \omega=\sqrt{\frac{k_{\rm eff}}{m}} $$
  • Pendulum small angle / 单摆小角：
$$ \ddot\theta+\frac{g}{L}\theta=0, \qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{L}} $$
8.4 Damped Oscillator / 阻尼振动#
  • Damping force and equation / 阻尼力与方程：
$$ F_d=-bv, \qquad m\ddot x+b\dot x+kx=0 $$
  • Underdamped / 欠阻尼：oscillates with decaying amplitude / 振幅衰减但仍振动。
  • Critical damping / 临界阻尼：returns fastest without oscillating / 不振荡最快回平衡。
  • Overdamped / 过阻尼：no oscillation, slow return / 不振荡且回归慢。
  • Damping reduces mechanical energy / 阻尼使机械能耗散。
8.5 Forced Oscillator / 受迫振动#
  • Driving force and equation / 驱动力与方程：
$$ F(t)=F_0\cos(\omega_d t), \qquad m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos(\omega_d t) $$
  • Transient response / 暂态响应：depends on initial condition and decays / 与初始条件有关并衰减。
  • Steady-state response / 稳态响应：oscillates at driving frequency / 以驱动频率振动。
  • Resonance / 共振：amplitude becomes large when driving frequency is near natural frequency / 驱动频率接近固有频率时振幅大。
8.6 Coupled Oscillators and Normal Modes / 耦合振子与简正模#
  • Coupled oscillator / 耦合振子：motion of one coordinate affects another / 坐标间相互影响。
  • Normal mode / 简正模：all parts oscillate at same frequency with fixed relative amplitude and phase / 各部分同频且相对振幅相位固定。
  • In-phase mode / 同相模：coordinates move together / 同向运动。
  • Out-of-phase mode / 反相模：coordinates move oppositely / 反向运动。
  • General motion / 一般运动：superposition of normal modes / 简正模叠加。
8.7 Molecules and Solids / 分子与固体#
  • Around potential minimum / 势能极小值附近：interatomic potential can be approximated as harmonic / 原子间势可近似为谐振子。
  • Elastic properties / 弹性性质 come from microscopic restoring forces / 来自微观恢复力。
  • Young's modulus / 杨氏模量：stretch/compression stiffness / 拉伸压缩刚度。
  • Shear modulus / 剪切模量：shear stiffness / 抗剪刚度。
  • Bulk modulus / 体积模量：compression stiffness / 抗体积压缩刚度。
Problem Methods / 解题方法#
  1. Identify equilibrium / 找平衡点。
  2. Linearize / 线性化：small angle, small displacement, ignore higher-order terms / 小量近似，忽略高阶项。
  3. Match to SHM form / 化为 $q'' + \omega^2 q = 0$。
  4. For coupled oscillators / 耦合振子：write matrix equations or add/subtract equations to find normal coordinates / 写矩阵或加减方程找简正坐标。
  5. For forced/damped systems / 阻尼受迫：先区分 natural frequency, driving frequency, damping / 区分固有频率、驱动频率、阻尼。
Vocabulary / 生词#
  • simple harmonic motion：简谐运动
  • oscillator：振子
  • damping：阻尼
  • damped oscillator：阻尼振子
  • forced oscillator：受迫振子
  • resonance：共振
  • transient：暂态的
  • steady state：稳态
  • normal mode：简正模
  • in-phase：同相
  • out-of-phase：反相
  • Young's modulus：杨氏模量
  • shear modulus：剪切模量
  • bulk modulus：体积模量

Ch. 9 Wave Motion / 波动#

9.1-9.2 Introduction and Wave Function / 波的引入与波函数#
  • Wave / 波：propagation of disturbance and energy through a medium / 扰动和能量在介质中传播。
  • Mechanical wave / 机械波：needs medium / 需要介质。
  • Transverse wave / 横波：disturbance perpendicular to propagation direction / 振动方向垂直传播方向。
  • Longitudinal wave / 纵波：disturbance parallel to propagation direction / 振动方向平行传播方向。
  • Wave function / 波函数：$y(x,t)$ or $u(x,t)$ describes displacement / 描述介质位移。
  • Traveling wave forms / 行波形式：
$$ f(x-vt)\quad(\text{right-moving}), \qquad f(x+vt)\quad(\text{left-moving}) $$
9.3 Superposition and Interference / 叠加与干涉#
  • Superposition principle / 叠加原理：in linear medium, resultant displacement is algebraic sum / 线性介质中位移代数相加。
  • Constructive interference / 相长干涉：waves reinforce / 波增强。
  • Destructive interference / 相消干涉：waves cancel partly or completely / 波相互抵消。
9.4 Transmission and Reflection / 透射与反射#
  • Reflection / 反射：wave returns at boundary / 波在边界返回。
  • Transmission / 透射：wave continues into another medium / 波进入另一介质。
  • Fixed end reflection / 固定端反射：inverted pulse / 脉冲反相。
  • Free end reflection / 自由端反射：not inverted / 不反相。
  • Boundary condition / 边界条件 determines phase / 边界条件决定反射相位。
9.5 Waves in a Solid / 固体中的波#
  • Atomic chain model / 原子链模型：atoms connected by effective springs / 原子由等效弹簧连接。
  • Continuum approximation / 连续介质近似：wavelength much larger than atomic spacing / 波长远大于原子间距。
  • Longitudinal wave in solid / 固体纵波：displacement along propagation direction / 位移沿传播方向。
  • Wave speed increases with stiffness and decreases with mass density / 波速随刚度增大而增大，随密度增大而减小。
9.6 Linear Wave Equation / 线性波动方程#
  • Linear wave equation / 线性波动方程：
$$ \frac{\partial^2y}{\partial t^2} =v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2} $$
  • String transverse wave speed / 弦横波速度：
$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} $$
  • Derivation idea / 推导思路：take small string element $dx$; use vertical tension component difference / 取小绳元，利用张力竖直分量差。
Problem Methods / 解题方法#
  1. Identify wave direction from argument / 由函数自变量判断方向：$x-vt$ 右行，$x + vt$ 左行。
  2. To derive wave equation / 推导波动方程：小段受力 + 牛顿第二定律 + 小角近似。
  3. Reflection questions / 反射题：write incident plus reflected wave and apply boundary condition / 入射波加反射波并套边界条件。
  4. If medium parameters vary / 若介质参数变化：波速和波形可能随位置变，正弦波不一定仍是解。
Vocabulary / 生词#
  • wave：波
  • medium：介质
  • transverse wave：横波
  • longitudinal wave：纵波
  • wave function：波函数
  • superposition：叠加
  • interference：干涉
  • constructive：相长的
  • destructive：相消的
  • reflection：反射
  • transmission：透射
  • boundary condition：边界条件
  • continuum approximation：连续介质近似

Ch. 10 Sinusoidal Waves / 正弦波#

10.1 Sinusoidal Wave Function / 正弦波函数#
  • Sinusoidal wave / 正弦波：
$$ y=A\sin(kx-\omega t+\phi) \quad\text{or}\quad y=A\cos(kx-\omega t+\phi) $$
  • Amplitude / 振幅：$A$。
  • Wave number / 波数：
$$ k=\frac{2\pi}{\lambda} $$
  • Wavelength / 波长：$\lambda$。
  • Angular frequency, period, and wave speed / 角频率、周期、波速：
$$ \omega=2\pi f, \qquad T=\frac{1}{f}, \qquad v=\frac{\omega}{k}=\lambda f $$
  • Medium particles perform SHM / 介质质点做简谐运动，但波形传播 / 质点振动，波传播。
10.2 Energy Transfer / 能量传输#
  • Kinetic energy density / 动能密度：
$$ u_K=\frac{1}{2}\mu \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 $$
  • Potential energy density / 势能密度：from stretching of string / 来自弦被拉伸。
  • Average energy density / 平均能量密度 for sinusoidal string wave：
$$ \bar u\propto \mu\omega^2A^2 $$
  • Energy propagates with wave / 能量随波传播。
10.3 Interference and Beating / 干涉与拍#
  • Same frequency and direction / 同频同向叠加：resultant amplitude depends on phase difference / 合振幅取决于相位差。
  • Interference conditions / 干涉条件：
$$ \Delta\phi=2n\pi \quad(\text{constructive}), \qquad \Delta\phi=(2n+1)\pi \quad(\text{destructive}) $$
  • Beating / 拍：two close frequencies superpose / 两个接近频率叠加。
  • Beat frequency / 拍频：
$$ f_{\rm beat}=|f_1-f_2| $$
10.4 Standing Waves / 驻波#
  • Standing wave / 驻波：two equal-amplitude waves traveling opposite directions / 两列等幅反向波叠加。
  • Typical form / 典型形式：
$$ y=2A\sin(kx)\cos(\omega t) $$
  • Node / 波节：always zero displacement / 位移恒为零。
  • Antinode / 波腹：maximum amplitude / 振幅最大。
  • String fixed at both ends / 两端固定弦：
$$ \lambda_n=\frac{2L}{n}, \qquad f_n=\frac{nv}{2L}=nf_1, \qquad f_1=\frac{v}{2L} $$
10.5 Fourier Analysis / 傅里叶分析#
  • Fourier idea / 傅里叶思想：periodic functions can be written as sums of sinusoidal functions / 周期函数可分解为正弦余弦叠加。
  • Harmonic / 谐波：integer multiple of fundamental frequency / 基频整数倍。
  • Square wave / 方波 often needs odd harmonics / 常由奇次谐波叠加表示。
  • Physical meaning / 物理意义：complex waveforms are superpositions of simple sinusoidal waves / 复杂波形可分解成简单正弦波。
10.6 Doppler Effect / 多普勒效应#
  • Doppler effect / 多普勒效应：observed frequency changes due to relative motion / 相对运动导致观测频率改变。
  • Moving observer / 观察者运动：toward source increases frequency / 靠近声源频率升高。
  • Moving source / 波源运动：toward observer shortens wavelength / 靠近观察者波长变短。
  • For sound / 对声波：wave speed is relative to medium / 波速相对介质决定。
  • Useful convention / 常用记号：$v$ wave speed, $v_O$ observer speed, $v_S$ source speed; signs depend on whether moving toward each other / 符号取决于是否相向运动。
Problem Methods / 解题方法#
  1. Read $kx - \omega t$ / 读波函数：方向、$A$, $k$, $\omega$, $\lambda$, $f$, $v$。
  2. Verify wave equation / 验证波动方程：compute second derivatives and require $\omega^2 = v^2 k^2$。
  3. Superposition / 叠加题：use trig identities / 用三角恒等式。
  4. Standing wave boundary / 驻波边界：fixed end means node / 固定端是波节。
  5. Fourier questions / 傅里叶题：先判断奇偶性，odd functions use sine series / 奇函数用正弦级数。
  6. Doppler questions / 多普勒题：先分清 source moving or observer moving / 先分清波源动还是观察者动。
Vocabulary / 生词#
  • sinusoidal：正弦的
  • amplitude：振幅
  • wavelength：波长
  • wave number：波数
  • angular frequency：角频率
  • energy density：能量密度
  • phase difference：相位差
  • beating：拍
  • standing wave：驻波
  • node：波节
  • antinode：波腹
  • harmonic：谐波
  • Fourier analysis：傅里叶分析
  • Doppler effect：多普勒效应

High-Frequency Exam Templates / 高频考试题型模板#

Template A: Free-Body and Constraint Problems / 受力与约束题#
  1. Draw free-body diagram / 画受力图。
  2. Choose axes / 选轴：斜面题沿斜面和垂直斜面，圆周题径向和切向。
  3. Write Newton's second law / 写牛顿第二定律。
$$ \sum \mathbf F=m\mathbf a $$
  1. Add constraint equations / 加约束方程。
  2. Solve and check limiting cases / 求解并检查极限情况。
Template B: Energy Problems / 能量题#
  1. Identify conservative and non-conservative forces / 区分保守力和非保守力。
  2. Write the energy equation / 写能量方程。
$$ K_i+U_i+W_{\rm nc}=K_f+U_f $$
  1. For rotation / 转动加上 $K_{\rm rot}$。
  2. For rolling / 滚动加上 $v=R\omega$。
Template C: Collision Problems / 碰撞题#
  1. Momentum conservation first / 先动量守恒。
  2. If elastic / 若弹性，再加动能守恒。
  3. If perfectly inelastic / 若完全非弹性，碰后共同速度。
  4. Check direction signs / 检查方向正负。
Template D: Central Force and Perturbed Orbit / 中心力与受扰轨道#
  1. Conserved angular momentum / 中心力下角动量守恒：
$$ L=mr^2\dot\theta $$
  1. Write effective radial energy / 写径向等效能量：
$$ E=\frac{1}{2}m\dot r^2+\frac{L^2}{2mr^2}+V(r) $$
  1. Circular orbit condition / 圆轨道条件：
$$ \frac{dU_{\rm eff}}{dr}=0 $$
  1. Small oscillation / 小振动：
$$ \omega_r^2=\frac{U_{\rm eff}''(r_0)}{m} $$
Template E: Rolling Rigid Body / 滚动刚体#
  1. Translation / 平动：
$$ \sum F=Ma_{\rm cm} $$
  1. Rotation / 转动：
$$ \sum \tau_{\rm cm}=I_{\rm cm}\alpha $$
  1. Constraint / 约束：if no slipping / 无滑动时
$$ a_{\rm cm}=R\alpha $$
  1. Energy / 能量：
$$ K=\frac{1}{2}Mv_{\rm cm}^2+\frac{1}{2}I_{\rm cm}\omega^2 $$
Template F: Coupled Oscillators / 耦合振动#
  1. Write linear equations / 写线性方程。
  2. Try normal coordinates / 尝试 $x_1+x_2$, $x_1-x_2$ 或 $\theta_1+\theta_2$, $\theta_1-\theta_2$。
  3. Get eigenfrequencies / 求简正频率。
  4. Superpose normal modes / 简正模叠加。
  5. Use initial conditions / 用初始条件定振幅和相位。
Template G: Wave Equation / 波动方程#
  1. Take a small element / 取小元。
  2. Find net restoring force / 求恢复力。
  3. Apply Newton's second law / 用牛顿第二定律。
  4. Use small-angle or continuum approximation / 用小角或连续近似。
  5. Match to $y_{tt} = v^2 y_{xx}$ / 对照标准波动方程读出波速。

Formula Checklist / 公式总表#

Kinematics / 运动学

$$ \begin{aligned} v&=\frac{dx}{dt}, & a&=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2},\\ v&=v_0+at, & x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2,\\ v^2&=v_0^2+2a\Delta x, & \mathbf r&=x\hat{\mathbf i}+y\hat{\mathbf j}+z\hat{\mathbf k}. \end{aligned} $$

Newton, work, energy, momentum / 牛顿定律、功、能量、动量

$$ \begin{aligned} \sum\mathbf F&=m\mathbf a, & mg-bv&=m\frac{dv}{dt},\\ W&=\int\mathbf F\cdot d\mathbf r, & P&=\mathbf F\cdot\mathbf v,\\ W_{\rm net}&=\Delta K, & \mathbf F&=-\nabla U,\\ E&=K+U, & \mathbf p&=m\mathbf v,\\ \mathbf J&=\Delta\mathbf p, & \mathbf F&=\frac{d\mathbf p}{dt}. \end{aligned} $$

Gravitation and rotation / 引力与转动

$$ \begin{aligned} F_g&=\frac{GmM}{r^2}, & U_g&=-\frac{GmM}{r},\\ v_{\rm orbit}&=\sqrt{\frac{GM}{r}}, & T_{\rm orbit}&=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}},\\ v_{\rm esc}&=\sqrt{\frac{2GM}{R}}, & \boldsymbol\tau&=\mathbf r\times\mathbf F,\\ \sum\tau&=I\alpha, & I&=\int r^2\,dm,\\ I&=I_{\rm cm}+Md^2, & K_{\rm rot}&=\frac{1}{2}I\omega^2,\\ \mathbf L&=\mathbf r\times\mathbf p, & L_{\rm fixed\,axis}&=I\omega. \end{aligned} $$

Rolling and oscillation / 滚动与振动

$$ \begin{aligned} v_{\rm cm}&=R\omega, & a_{\rm cm}&=R\alpha,\\ \ddot x+\omega^2x&=0, & x(t)&=A\cos(\omega t+\phi),\\ \omega_{\rm spring}&=\sqrt{\frac{k}{m}}, & \omega_{\rm pendulum}&=\sqrt{\frac{g}{L}},\\ m\ddot x+b\dot x+kx&=0, & m\ddot x+b\dot x+kx&=F_0\cos(\omega_d t). \end{aligned} $$

Waves / 波动

$$ \begin{aligned} y_{\rm right}&=f(x-vt), & y_{\rm left}&=f(x+vt),\\ \frac{\partial^2y}{\partial t^2} &=v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}, & v_{\rm string}&=\sqrt{\frac{T}{\mu}},\\ y(x,t)&=A\sin(kx-\omega t+\phi), & k&=\frac{2\pi}{\lambda},\\ \omega&=2\pi f, & v&=\frac{\omega}{k}=\lambda f,\\ \lambda_n&=\frac{2L}{n}, & f_n&=\frac{nv}{2L},\\ f_{\rm beat}&=|f_1-f_2|. \end{aligned} $$

附件#

下载 / 预览 PDF普物I期中复习提纲-力学全覆盖版.pdf
Preview / 预览