Notes 笔记

Linear algebra II notes

2026年4月29日数学作者 qqqzj-crane 约 42 分钟

按《线性代数应该这样学》第四版中文版目录编排。
本笔记是学习整理版：每节按“定义与对象 → 定理与证明 → 例题”组织，证明尽量保留核心逻辑，便于复习时快速还原完整证明。

第 1 章向量空间#

1A $\mathbb R^n$ 和 $\mathbb C^n$#

定义与对象#

复数。
复数写为 $a+bi$，其中 $a,b\in\mathbb R$，并规定 $i^2=-1$。复数集合记为

\mathbb C=\{a+bi:a,b\in\mathbb R\}.

复数运算。
若 $\alpha=a+bi,\ \beta=c+di$，则

\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i,

\alpha\beta=(ac-bd)+(ad+bc)i.

标量域记号 $F$。
全文中 $F$ 表示 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$。$F$ 中元素称为标量。

组与长度。
长度为 $n$ 的组是有序对象

(x_1,\dots,x_n).

组与集合不同：组关心顺序与重复。

$F^n$ 与坐标。

F^n=\{(x_1,\dots,x_n):x_j\in F\}.

$x_j$ 称为第 $j$ 个坐标。

$F^n$ 中的加法、零向量、加法逆元、标量乘法。

(x_1,\dots,x_n)+(y_1,\dots,y_n)=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n),

0=(0,\dots,0),\qquad -(x_1,\dots,x_n)=(-x_1,\dots,-x_n),

\lambda(x_1,\dots,x_n)=(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n).

这些定义把平面、三维空间中的“箭头加法”和“伸缩”抽象成坐标运算；当维数很高时，几何图像失效，但代数规则仍然有效。

常用性质#

复数与 $F^n$ 的运算性质#

复数运算性质。
对任意 $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb C$：

\alpha+\beta=\beta+\alpha,\qquad \alpha\beta=\beta\alpha;

(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma),\qquad (\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma);

\alpha+0=\alpha,\qquad \alpha\cdot1=\alpha;

每个 $\alpha$ 有唯一加法逆元 $-\alpha$；每个非零 $\alpha$ 有唯一乘法逆元 $\alpha^{-1}$；

\gamma(\alpha+\beta)=\gamma\alpha+\gamma\beta.

证明抓手：全部把复数写成 $a+bi$ 后化为实数运算性质。

$F^n$ 的坐标运算性质。
对 $x,y,z\in F^n$ 与 $a,b\in F$：

x+y=y+x,\qquad (x+y)+z=x+(y+z),

x+0=x,\qquad x+(-x)=0,

(ab)x=a(bx),\qquad 1x=x,

a(x+y)=ax+ay,\qquad (a+b)x=ax+bx.

证明抓手：逐坐标验证，每个坐标都回到 $F$ 中的运算性质。

定理与证明#

1.3 复数的算术性质。
复数加法和乘法满足交换律、结合律、单位元、加法逆元、非零乘法逆元和分配律。

证明：把 $\alpha=a+bi$、$\beta=c+di$、$\gamma=e+fi$ 展开，逐项使用实数运算性质。例如

$$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i $$

与

$$ (c+di)(a+bi)=(ca-db)+(cb+da)i $$

相等，故乘法交换。其余性质同理。

1.14 $F^n$ 中加法可交换。
若 $x,y\in F^n$，则 $x+y=y+x$。

证明：设 $x=(x_1,\dots,x_n)$，$y=(y_1,\dots,y_n)$。按坐标加法，

x+y=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)=(y_1+x_1,\dots,y_n+x_n)=y+x.

例题#

例 1：计算复数乘法。

$$ (2+3i)(4+5i)=8+10i+12i+15i^2=-7+22i. $$

例 2：判断是否存在 $\lambda\in\mathbb C$ 使

\lambda(1,i)=(i,-1).

由第一坐标得 $\lambda=i$；第二坐标为 $i\cdot i=-1$，成立。因此存在，且 $\lambda=i$。

1B 向量空间的定义#

定义与对象#

加法与标量乘法。
集合 $V$ 上的加法把 $u,v\in V$ 送到 $u+v\in V$；标量乘法把 $\lambda\in F$ 与 $v\in V$ 送到 $\lambda v\in V$。

向量空间。
$V$ 是 $F$ 上的向量空间，指 $V$ 带有加法和标量乘法，满足：

加法交换律：$u+v=v+u$；
加法结合律：$(u+v)+w=u+(v+w)$；
存在加法恒等元 $0$；
每个 $v$ 存在加法逆元；
标量乘法结合律：$(ab)v=a(bv)$；
乘法恒等元：$1v=v$；
分配律：$a(u+v)=au+av$，$(a+b)v=av+bv$。

向量、点、实向量空间、复向量空间。
向量空间的元素称为向量或点。$\mathbb R$ 上的向量空间称为实向量空间；$\mathbb C$ 上的向量空间称为复向量空间。

函数空间 $F^S$。
若 $S$ 是集合，则

F^S=\{f:S\to F\}.

加法和标量乘法逐点定义：

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (\lambda f)(x)=\lambda f(x).

因此函数也可以作为向量。

多项式空间的雏形。
所有 $F$ 系数多项式构成向量空间；后续有限维子空间 $\mathcal P_m(F)$ 是次数不超过 $m$ 的多项式全体。

常用性质#

向量空间中的派生性质#

向量空间公理推出：

0\text{ 唯一},\qquad -v\text{ 唯一},

0v=0,\qquad a0=0,\qquad (-1)v=-v.

常用消去律：若 $u+w=v+w$，则 $u=v$。证明是在等式两边加上 $-w$。

定理与证明#

1.26 加法恒等元唯一。
若 $0$ 和 $0'$ 都是零元，则

$$ 0=0+0'=0'. $$

1.27 加法逆元唯一。
若 $w,w'$ 都满足 $v+w=0$ 与 $v+w'=0$，则

$$ w=w+0=w+(v+w')=(w+v)+w'=0+w'=w'. $$

1.30 向量与数 $0$ 相乘。
对任意 $v\in V$，

$$ 0v=0. $$

证明：

$$ 0v=(0+0)v=0v+0v. $$

两边加上 $0v$ 的加法逆元，得 $0=0v$。

1.31 数与零向量相乘。
对任意 $a\in F$，

$$ a0=0. $$

证明：

$$ a0=a(0+0)=a0+a0. $$

消去一项 $a0$ 即得。

1.32 向量与数 $-1$ 相乘。

$$ (-1)v=-v. $$

证明：

$$ v+(-1)v=1v+(-1)v=(1-1)v=0v=0. $$

所以 $(-1)v$ 是 $v$ 的加法逆元。

例题#

例：$C[0,1]$ 是向量空间。
所有 $[0,1]$ 上连续实值函数在逐点加法与数乘下构成实向量空间。关键是连续函数之和仍连续，连续函数的标量倍仍连续。

1C 子空间#

定义与对象#

子空间。
若 $U\subseteq V$ 且 $U$ 在继承的加法和标量乘法下本身是向量空间，则 $U$ 是 $V$ 的子空间。

子空间的和。
若 $U_1,\dots,U_m$ 是 $V$ 的子空间，则

U_1+\cdots+U_m =\{u_1+\cdots+u_m:u_j\in U_j\}.

直和。
若 $U_1+\cdots+U_m$ 中每个向量都能唯一写成 $u_1+\cdots+u_m$，则称这个和为直和，记为

U_1\oplus\cdots\oplus U_m.

常用性质#

子空间与直和性质#

子空间快速判别。
非空子集 $U$ 是子空间，当且仅当它对任意线性组合封闭：

u,w\in U,\ a,b\in F\Rightarrow au+bw\in U.

交与和。
任意一族子空间的交仍是子空间；有限个子空间的和是包含它们的最小子空间。证明分别用“共同满足封闭性”和“所有子空间必须包含所有线性组合”。

两个子空间直和。

U+W=U\oplus W \Longleftrightarrow U\cap W=\{0\}.

多子空间情形则用零向量表示唯一判别。

定理与证明#

1.34 子空间判别法。
非空子集 $U\subseteq V$ 是子空间，当且仅当对任意 $u,w\in U$ 与 $a,b\in F$，

au+bw\in U.

证明：若 $U$ 是子空间，则线性组合封闭。反过来，取 $a=b=1$ 得加法封闭，取 $b=0$ 得数乘封闭；再由非空取 $u\in U$，有 $0u=0\in U$。

1.40 子空间之和是包含它们的最小子空间。
$U_1+\cdots+U_m$ 是子空间，且它是包含所有 $U_j$ 的最小子空间。

证明：线性组合封闭性来自各 $U_j$ 的封闭性。任一包含所有 $U_j$ 的子空间必须包含所有 $u_1+\cdots+u_m$。

1.45 直和判别法。
$U_1+\cdots+U_m$ 是直和，当且仅当零向量只有一种表示：

0=u_1+\cdots+u_m,\quad u_j\in U_j \Rightarrow u_1=\cdots=u_m=0.

证明：唯一表示显然推出零表示唯一。反过来，若 $u_1+\cdots+u_m=v_1+\cdots+v_m$，相减得

0=(u_1-v_1)+\cdots+(u_m-v_m),

零表示唯一推出每项相等。

1.46 两个子空间的直和。

U+W\text{ 是直和}\Longleftrightarrow U\cap W=\{0\}.

证明：若 $u+w=0$，则 $u=-w\in U\cap W$。交只有零时 $u=w=0$。反向取 $x\in U\cap W$，则 $0=x+(-x)$ 是零的一种表示，直和性推出 $x=0$。

例题#

例：齐次线性方程定义子空间。

U=\{(x,y,z)\in F^3:x+y+z=0\}

是子空间，因为若 $u,w$ 都满足坐标和为 $0$，则 $au+bw$ 的坐标和也是 $0$。
相反，

\{(x,y,z):x+y+z=1\}

不是子空间，因为不含零向量。

第 2 章有限维向量空间#

2A 张成空间和线性无关性#

定义与对象#

向量组。
向量组是按顺序排列的一列向量 $v_1,\dots,v_m$，允许重复。

线性组合。

a_1v_1+\cdots+a_mv_m

称为 $v_1,\dots,v_m$ 的线性组合。

张成空间。

\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m) =\{a_1v_1+\cdots+a_mv_m:a_j\in F\}.

张成。
若 $\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)=V$，称该向量组张成 $V$。

有限维与无限维。
若 $V$ 可由有限个向量张成，则 $V$ 有限维；否则无限维。

多项式空间。
$\mathcal P(F)$ 为所有 $F$ 系数多项式；$\mathcal P_m(F)$ 为次数不超过 $m$ 的多项式与零多项式。

线性无关与线性相关。
$v_1,\dots,v_m$ 线性无关，指

a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0 \Rightarrow a_1=\cdots=a_m=0.

否则线性相关。

常用性质#

张成与线性无关的常用性质#

张成空间性质。

\operatorname{span}()=\{0\}.

若 $v_j\in\operatorname{span}(u_1,\dots,u_m)$ 对所有 $j$ 成立，则

\operatorname{span}(v_1,\dots,v_n)\subseteq\operatorname{span}(u_1,\dots,u_m).

若两个向量组可以相互表示，则张成空间相同。

线性无关/相关速查。
空组线性无关；单向量组 $v$ 线性无关当且仅当 $v\ne0$；含零向量的向量组必线性相关；若某个向量是前面向量的线性组合，则整个组线性相关。

有限维判断。
$F^n$ 有限维，$\mathcal P_m(F)$ 有限维；$\mathcal P(F)$ 无限维。证明 $\mathcal P(F)$ 无限维时，用 $1,z,\dots,z^m$ 可构造任意长线性无关组。

定理与证明#

2.6 张成空间是最小子空间。
$\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)$ 是包含这些向量的最小子空间。

证明：线性组合的线性组合仍是线性组合，所以它是子空间。任何包含所有 $v_j$ 的子空间都必须包含所有线性组合。

2.19 线性相关性引理。
若 $v_1,\dots,v_m$ 线性相关，则存在 $k$ 使

v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1}),

并且删去这个 $v_k$ 后张成空间不变。

证明：取非平凡关系 $\sum a_jv_j=0$。令 $k$ 为最大且 $a_k\ne0$ 的下标，则

v_k=-a_k^{-1}(a_1v_1+\cdots+a_{k-1}v_{k-1}).

所以所有含 $v_k$ 的线性组合都可改写为不含 $v_k$ 的线性组合。

2.22 线性无关组长度不超过张成组长度。
若 $u_1,\dots,u_m$ 线性无关，$w_1,\dots,w_n$ 张成 $V$，则 $m\le n$。

证明：把 $u_j$ 逐个加入 $w$ 组。每加入一个 $u_j$，线性相关性引理允许删去一个原来的 $w$ 而保持张成。若 $m>n$，最终会得到由 $u_1,\dots,u_m$ 中某些向量组成的张成组，迫使它们线性相关，矛盾。

2.25 有限维空间的子空间有限维。
若 $V$ 有限维且 $U\subseteq V$，则 $U$ 有限维。

证明：在 $U$ 中不断选取线性无关向量。长度不能超过 $V$ 的张成组长度，所以过程有限终止；终止时所得组张成 $U$。

例题#

例：求齐次方程 $x+y+z=0$ 的张成表示。
令 $y=s,z=t$，则

$$ (x,y,z)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1). $$

因此解空间由 $(-1,1,0)$ 和 $(-1,0,1)$ 张成。

2B 基#

定义与对象#

基。
向量组 $v_1,\dots,v_n$ 若线性无关且张成 $V$，则称为 $V$ 的一组基。

坐标。
若 $v_1,\dots,v_n$ 是基，则每个 $v\in V$ 唯一写成

v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n.

这些 $a_j$ 就是 $v$ 在该基下的坐标。

常用性质#

基的性质#

基同时承担两个功能：张成保证“存在坐标”，线性无关保证“坐标唯一”。
若从张成组删去一个可由其他向量表示的向量，张成空间不变；若向线性无关组加入一个不在其张成空间中的向量，新组仍线性无关。

定理与证明#

2.28 基的判定准则。
$v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，当且仅当每个 $v\in V$ 都能唯一写成 $\sum a_jv_j$。

证明：基给出存在性和唯一性；唯一性反过来推出张成，且零向量只有全零表示，推出线性无关。

2.30 每个张成组都包含一个基。
证明：若张成组线性相关，按线性相关性引理删去多余向量且不改变张成空间；反复直到线性无关。

2.31 有限维向量空间的基。
每个有限维向量空间都有基。

证明：有限维给出有限张成组；由 2.30 从中取出基。

2.32 每个线性无关组都可扩充成基。
证明：把一个有限张成组接在线性无关组后面，得到张成组；再删去多余向量，但不删去原线性无关组。

2.33 每个子空间都有补空间。
若 $U\subseteq V$ 且 $V$ 有限维，则存在 $W$ 使

V=U\oplus W.

证明：取 $U$ 的基，扩充为 $V$ 的基；新增基向量张成的空间就是 $W$。

例题#

例：$\mathcal P_2(F)$ 的标准基。

1,\ z,\ z^2

线性无关并张成所有二次及以下多项式，因此是 $\mathcal P_2(F)$ 的基。

2C 维数#

定义与对象#

维数。
有限维向量空间 $V$ 的任一基长度称为 $\dim V$。零空间 $\{0\}$ 的基为空组，因此维数为 $0$。

常用性质#

维数性质#

常用维数：

\dim F^n=n,\qquad \dim \mathcal P_m(F)=m+1,\qquad \dim F^{m,n}=mn.

长度判别：

在 $n$ 维空间中，超过 $n$ 个向量必线性相关；
在 $n$ 维空间中，少于 $n$ 个向量不能张成全空间；
长度为 $n$ 的线性无关组自动是基；
长度为 $n$ 的张成组自动是基。

子空间维数公式：

\dim(U\oplus W)=\dim U+\dim W,

\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

定理与证明#

2.34 基的长度不依赖于基的选取。
证明：若 $B_1,B_2$ 都是基，则 $B_1$ 线性无关、$B_2$ 张成，故 $|B_1|\le |B_2|$；反向同理。

2.37 子空间的维数。
若 $U\subseteq V$，则

\dim U\le \dim V.

若维数相等，则 $U=V$。

证明：$U$ 的基在 $V$ 中线性无关，所以长度不超过 $V$ 的基长度。若相等，则这组基也是 $V$ 的基。

2.38 长度恰当的线性无关组是基。
若 $\dim V=n$，且 $v_1,\dots,v_n$ 线性无关，则它们是基。

证明：可扩充为基，但基长度已是 $n$，所以无需扩充。

2.39 同维子空间等于整体。
若 $U\subseteq V$ 且 $\dim U=\dim V<\infty$，则 $U=V$。

证明：由 2.37 的等号情形。

2.42 长度恰当的张成组是基。
若 $\dim V=n$，且 $v_1,\dots,v_n$ 张成 $V$，则它们是基。

证明：张成组可删成基；若原组相关，则可删掉至少一个，得到长度小于 $n$ 的基，矛盾。

2.43 子空间和的维数公式。

\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

证明：取 $U\cap W$ 的基，分别扩充成 $U$ 和 $W$ 的基。把交的基和两边新增向量合并，可验证为 $U+W$ 的基；计数得公式。

例题#

例：两个平面在三维空间中的交。
若 $U,W$ 是 $\mathbb R^3$ 中两个不同二维子空间，则

\dim(U+W)\le3.

由维数公式，

\dim(U\cap W)=2+2-\dim(U+W)\ge1.

所以两个过原点的平面至少交于一条直线。

第 3 章线性映射#

3A 线性映射的向量空间#

定义与对象#

线性映射。
$T:V\to W$ 线性，指

T(u+v)=Tu+Tv,\qquad T(\lambda v)=\lambda Tv.

等价地，

$$ T(au+bv)=aTu+bTv. $$

线性映射空间。
所有从 $V$ 到 $W$ 的线性映射构成集合 $\mathcal L(V,W)$。若 $V=W$，记为 $\mathcal L(V)$，其中元素称为算子。

线性映射的和、标量倍、乘积。

(S+T)v=Sv+Tv,\qquad (\lambda T)v=\lambda Tv,

若 $T:U\to V$，$S:V\to W$，则乘积 $ST$ 指复合：

$$ (ST)u=S(Tu). $$

常用性质#

线性映射运算性质#

对可复合的线性映射：

$$ R(ST)=(RS)T, $$

S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2,\qquad (S_1+S_2)T=S_1T+S_2T,

(\lambda S)T=S(\lambda T)=\lambda(ST).

恒等映射满足 $TI=IT=T$。一般 $ST\ne TS$。

定理与证明#

3.4 线性映射引理。
给定 $V$ 的基 $v_1,\dots,v_n$ 和任意 $w_1,\dots,w_n\in W$，存在唯一 $T\in\mathcal L(V,W)$ 使 $Tv_j=w_j$。

证明：对 $v=\sum a_jv_j$ 定义 $Tv=\sum a_jw_j$。基表示唯一保证定义良好；线性性直接验证；唯一性来自线性映射由基向量上的取值决定。

3.6 $\mathcal L(V,W)$ 是向量空间。
证明：线性映射的和与标量倍仍线性，向量空间公理逐点继承自 $W$。

3.8 线性映射乘积的代数性质。
复合满足结合律，并对加法分配；一般不交换。

证明：结合律来自函数复合；分配律来自线性性。不可交换可用微分 $D$ 与乘以 $x$ 的算子举例：$D(xp)=p+xDp$，而 $xDp$ 没有 $p$ 项。

3.10 线性映射将 $0$ 映射为 $0$。

$$ T0=T(0+0)=T0+T0. $$

消去一项得 $T0=0$。

例题#

例：微分映射。
$D:\mathcal P_3(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$，$Dp=p'$ 是线性映射，因为导数满足加法和数乘规则。

3B 零空间和值域#

定义与对象#

零空间。

\operatorname{null}T=\{v\in V:Tv=0\}.

单射。
$T$ 单射，指 $Tu=Tv\Rightarrow u=v$。

值域。

\operatorname{range}T=\{Tv:v\in V\}.

满射。
$T$ 满射，指 $\operatorname{range}T=W$。

常用性质#

零空间、值域、方程组性质#

T\text{ 单射}\Longleftrightarrow \operatorname{null}T=\{0\},

T\text{ 满射}\Longleftrightarrow \operatorname{range}T=W.

若 $T:V\to W$ 且 $V$ 有限维：

\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T=\dim V.

矩阵语言中，若 $A$ 有 $n$ 列，则

\dim\operatorname{null}A+\operatorname{rank}A=n.

齐次方程 $Ax=0$ 的自由度就是 $\dim\operatorname{null}A$。

定理与证明#

3.13 零空间是子空间。
若 $u,w\in\operatorname{null}T$，则

$$ T(au+bw)=aTu+bTw=0. $$

3.15 单射等价于零空间为 $\{0\}$。
若 $T$ 单射，$Tv=0=T0$ 推出 $v=0$。反过来，若 $Tu=Tv$，则 $T(u-v)=0$，由零空间为 $\{0\}$ 得 $u=v$。

3.18 值域是子空间。
若 $y_1=Tu,\ y_2=Tv$，则

ay_1+by_2=T(au+bv)\in\operatorname{range}T.

3.21 线性映射基本定理。
若 $V$ 有限维，$T\in\mathcal L(V,W)$，则

\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T.

证明：取 $\operatorname{null}T$ 的基 $u_1,\dots,u_m$，扩充为 $V$ 的基

u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_k.

证明 $Tv_1,\dots,Tv_k$ 是 $\operatorname{range}T$ 的基。张成性来自任意向量可按扩充基表示；线性无关性来自若 $\sum a_jTv_j=0$，则 $\sum a_jv_j\in\operatorname{null}T$，再用扩充基无关性。

3.22 映到更低维空间上的线性映射不是单射。
若 $\dim V>\dim W$，则 $T:V\to W$ 不单射。

证明：若单射，则 $\dim\operatorname{null}T=0$，基本定理给出 $\dim\operatorname{range}T=\dim V>\dim W$，矛盾。

3.24 映到更高维空间上的线性映射不是满射。
若 $\dim V<\dim W$，则 $T:V\to W$ 不满射。

证明：$\dim\operatorname{range}T\le\dim V<\dim W$。

3.26 齐次线性方程组。
未知数个数多于方程个数时，齐次方程必有非零解。

证明：把方程写成 $T:F^n\to F^m$。若 $n>m$，则 $T$ 不单射，故零空间有非零向量。

3.28 方程个数多于未知数个数时，不是所有非齐次方程都有解。
证明：若 $m>n$，$T:F^n\to F^m$ 不满射，所以存在 $b\notin\operatorname{range}T$。

例题#

例：求零空间与值域。
$T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$，

$$ T(x,y,z)=(x+y,y+z). $$

零空间满足 $x+y=0,\ y+z=0$，故

\operatorname{null}T=\operatorname{span}((-1,1,-1)).

由基本定理，值域维数为 $3-1=2$，所以 $\operatorname{range}T=\mathbb R^2$。

3C 矩阵#

定义与对象#

矩阵。
$m\times n$ 矩阵是按 $m$ 行 $n$ 列排列的标量数组，元素记为 $A_{j,k}$。

线性映射的矩阵。
给定 $V$ 的基 $v_1,\dots,v_n$ 和 $W$ 的基 $w_1,\dots,w_m$，$M(T)$ 的第 $k$ 列是 $Tv_k$ 在 $W$ 的基下的坐标。

矩阵加法、标量乘法、矩阵乘法。
加法与标量乘法逐元素定义；矩阵乘法由线性映射复合推动：

(AC)_{j,k}=\sum_r A_{j,r}C_{r,k}.

列秩、行秩、秩。
列秩是列向量张成空间的维数；行秩类似。二者相等，公共值称为矩阵的秩。

常用性质#

矩阵运算性质#

矩阵加法和数乘逐元素进行，满足向量空间公理。矩阵乘法满足：

$$ A(BC)=(AB)C, $$

A(B+C)=AB+AC,\qquad (A+B)C=AC+BC,

但一般 $AB\ne BA$。

转置性质：

(A+B)^t=A^t+B^t,\qquad (\lambda A)^t=\lambda A^t,

$$ (AB)^t=B^tA^t. $$

秩性质：

\operatorname{columnrank}A=\operatorname{rowrank}A=\operatorname{rank}A.

列秩是线性映射值域维数；行秩可通过对偶映射或转置理解。

定理与证明#

3.35、3.38 线性映射加法和标量倍的矩阵。

M(S+T)=M(S)+M(T),\qquad M(\lambda T)=\lambda M(T).

证明：逐列比较基向量的像。

3.40 矩阵空间维数。

\dim F^{m,n}=mn.

证明：矩阵单位 $E_{j,k}$ 构成一组基，共 $mn$ 个。

3.43 线性映射之积的矩阵。

$$ M(ST)=M(S)M(T). $$

证明：对每个基向量 $v_k$，先用 $M(T)$ 得到 $Tv_k$ 的坐标，再用 $M(S)$ 得到 $S(Tv_k)$ 的坐标。

3.46 矩阵之积的元素等于行乘以列。
直接由乘法定义：

(AC)_{j,k}=\sum_r A_{j,r}C_{r,k}.

3.48 矩阵之积的列。
$AC$ 的第 $k$ 列等于 $A$ 乘以 $C$ 的第 $k$ 列。证明：逐元素展开即可。

3.51 矩阵乘法可看作列或行的线性组合。
$A x$ 是 $A$ 的列按 $x$ 的坐标线性组合。证明：展开 $Ax$ 的第 $j$ 个元素。

3.56 行列分解。
矩阵可写成若干“列向量 $\times$ 行向量”的和。

证明：按列分解：

A=\sum_{k=1}^n A_{\cdot,k}e_k^t.

3.57 列秩等于行秩。
证明：可由对偶映射矩阵为转置推出；列秩是 $\dim\operatorname{range}T$，行秩是 $\dim\operatorname{range}T'$，二者相等。

例题#

例：微分映射矩阵。
取 $\mathcal P_3$ 基 $1,x,x^2,x^3$，$\mathcal P_2$ 基 $1,x,x^2$。$D(1)=0,D(x)=1,D(x^2)=2x,D(x^3)=3x^2$，所以

M(D)= \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&3 \end{pmatrix}.

3D 可逆性和同构#

定义与对象#

可逆线性映射。
$T\in\mathcal L(V,W)$ 可逆，指存在 $S\in\mathcal L(W,V)$ 使

ST=I_V,\qquad TS=I_W.

$S$ 称为 $T$ 的逆，记为 $T^{-1}$。

同构。
若存在可逆线性映射 $V\to W$，则称 $V$ 与 $W$ 同构。

向量的矩阵。
给定基后，$M(v)$ 是 $v$ 在该基下的坐标列向量。

换基矩阵。
同一个向量或算子在不同基下有不同坐标，换基矩阵负责坐标转换。

常用性质#

可逆与换基性质#

若 $S,T$ 可逆，则

(ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1}.

同维有限维空间中：

T\text{ 单射}\Longleftrightarrow T\text{ 满射}\Longleftrightarrow T\text{ 可逆}.

换基时同一算子的矩阵相似：

B=P^{-1}AP.

因此相似矩阵表示同一个算子在不同基下的样子。

定理与证明#

3.60 逆唯一。
若 $S,R$ 都是 $T$ 的逆，则

$$ S=SI=S(TR)=(ST)R=R. $$

3.63 可逆等价于单射且满射。
可逆显然推出单射、满射。反过来，若 $T$ 既单又满，则每个 $w\in W$ 有唯一原像，定义 $T^{-1}w$ 为该原像，并验证线性性。

3.65 同维有限维空间中单射与满射等价。
若 $\dim V=\dim W<\infty$，则 $T$ 单射当且仅当满射。

证明：由基本定理，$\dim\operatorname{range}T=\dim V-\dim\operatorname{null}T$。零空间为零等价于值域维数为 $\dim W$。

3.68 同维情形下左逆与右逆等价。
若 $ST=I$，则 $T$ 单射；同维推出 $T$ 可逆，故 $S=T^{-1}$，于是 $TS=I$。反向同理。

3.70 维数刻画同构。
有限维空间 $V,W$ 同构，当且仅当

\dim V=\dim W.

证明：同构把基送到基，故维数相同。反过来，取两组等长基，把第一组逐个送到第二组，线性映射引理给出同构。

3.71 $\mathcal L(V,W)$ 与矩阵空间同构。
固定基后，$T\mapsto M(T)$ 是 $\mathcal L(V,W)$ 到 $F^{m,n}$ 的同构。

3.72 线性映射空间维数。

\dim\mathcal L(V,W)=(\dim V)(\dim W).

3.76 线性映射的作用像矩阵乘法。

$$ M(Tv)=M(T)M(v). $$

证明：将 $v=\sum a_kv_k$ 代入，右侧正是 $Tv=\sum a_kTv_k$ 的坐标。

3.78 值域维数等于矩阵列秩。
矩阵列向量是 $Tv_k$ 的坐标，它们张成的坐标空间维数就是 $\dim\operatorname{range}T$。

3.84 换基公式。
若同一算子在旧基下矩阵为 $A$，新基到旧基的换基矩阵为 $P$，则新基下矩阵为

P^{-1}AP.

3.86 逆的矩阵等于矩阵的逆。
由 $TT^{-1}=I$ 得

M(T)M(T^{-1})=I.

例题#

例：二维旋转是同构。
旋转 $\theta$ 角的矩阵

\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}

列向量线性无关，故线性映射单射；同维推出可逆。

3E 向量空间的积和商#

定义与对象#

向量空间的积。

V_1\times\cdots\times V_m

由有序组 $(v_1,\dots,v_m)$ 构成，运算逐坐标定义。

平移。
若 $U$ 是 $V$ 的子空间，$v+U=\{v+u:u\in U\}$ 称为 $U$ 的平移。

商空间。

V/U=\{v+U:v\in V\}.

商映射。

\pi:V\to V/U,\qquad \pi(v)=v+U.

常用性质#

商空间性质#

平移相等判别：

v+U=w+U\Longleftrightarrow v-w\in U.

商映射 $\pi:V\to V/U$ 满足

\operatorname{null}\pi=U,\qquad \operatorname{range}\pi=V/U.

因此

\dim(V/U)=\dim V-\dim U.

定理与证明#

3.89 积空间是向量空间。
证明：逐坐标验证向量空间公理。

3.92 积空间维数。

\dim(V_1\times\cdots\times V_m)=\dim V_1+\cdots+\dim V_m.

证明：把各因子空间的基嵌入对应坐标，合成积空间的基。

3.93 积与直和。
若 $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_m$，则 $U_1\times\cdots\times U_m$ 与 $V$ 同构。

证明：映射 $(u_1,\dots,u_m)\mapsto u_1+\cdots+u_m$ 线性，直和保证单射和满射。

3.94 直和的维数判别。
有限维时，$U_1+\cdots+U_m$ 是直和，当且仅当

\dim(U_1+\cdots+U_m)=\sum_j\dim U_j.

3.101 子空间的两个平移要么相等要么不相交。
若 $(v+U)\cap(w+U)\ne\varnothing$，则 $v-w\in U$，从而 $v+U=w+U$。

3.103 商空间是向量空间。
定义

(v+U)+(w+U)=(v+w)+U,\qquad a(v+U)=av+U.

良定义来自代表元相差 $U$ 中元素时，运算结果仍在同一平移中。

3.105 商空间维数。

\dim(V/U)=\dim V-\dim U.

证明：商映射 $\pi$ 的零空间是 $U$，值域是 $V/U$，用线性映射基本定理。

3.107 诱导映射。
若 $T\in\mathcal L(V,W)$，则

\widetilde T:V/\operatorname{null}T\to W,\qquad \widetilde T(v+\operatorname{null}T)=Tv

良定义、单射，且值域为 $\operatorname{range}T$。

证明：若两个代表元相差零空间元素，它们在 $T$ 下像相同。零空间只有零平移，故单射。

例题#

例：$\mathbb R^2/U$ 的几何意义。
若 $U$ 是一条过原点直线，则 $\mathbb R^2/U$ 的元素是与 $U$ 平行的所有直线；商空间把沿 $U$ 的方向压缩为零方向。

3F 对偶#

定义与对象#

线性泛函。
从 $V$ 到 $F$ 的线性映射称为线性泛函。

对偶空间。

V'=\mathcal L(V,F).

对偶基。
若 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，则对偶基 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 满足

\varphi_j(v_k)=\delta_{jk}.

对偶映射。
若 $T\in\mathcal L(V,W)$，定义

T':W'\to V',\qquad T'(\varphi)=\varphi\circ T.

零化子。
若 $U\subseteq V$，

U^0=\{\varphi\in V':\varphi(u)=0\ \forall u\in U\}.

常用性质#

对偶性质#

零化子：

V^0=\{0\},\qquad \{0\}^0=V',

\dim U^0=\dim V-\dim U.

对偶映射：

\operatorname{null}T'=(\operatorname{range}T)^0,\qquad \operatorname{range}T'=(\operatorname{null}T)^0.

等价关系：

T\text{ 满射}\Longleftrightarrow T'\text{ 单射},

T\text{ 单射}\Longleftrightarrow T'\text{ 满射}.

定理与证明#

3.111 对偶空间维数。

\dim V'=\dim V.

证明：线性泛函由其在 $V$ 的基上的取值唯一决定。

3.114 对偶基给出线性组合系数。
若 $v=\sum a_jv_j$，则

a_j=\varphi_j(v).

3.116 对偶基是对偶空间的基。
任意 $\varphi\in V'$ 可写成

\varphi=\sum_j\varphi(v_j)\varphi_j.

3.120 对偶映射的代数性质。
$T'$ 线性，并且

$$ (ST)'=T'S'. $$

证明：由函数复合结合律。

3.124 零化子是子空间。
若两个泛函都在 $U$ 上为零，则其线性组合也在 $U$ 上为零。

3.125 零化子维数。

\dim U^0=\dim V-\dim U.

证明：把 $U$ 的基扩充为 $V$ 的基，对偶基中对应补充基向量的部分张成 $U^0$。

3.128 对偶映射的零空间。

\operatorname{null}T'=(\operatorname{range}T)^0.

3.129 $T$ 满射等价于 $T'$ 单射。
由 3.128 和零化子的维数公式得到。

3.130 对偶映射的值域。

\operatorname{range}T'=(\operatorname{null}T)^0.

证明：先证包含，再比较维数。

3.131 $T$ 单射等价于 $T'$ 满射。
由 3.130 与 $\operatorname{null}T=\{0\}$ 的等价关系得到。

3.132 对偶映射矩阵是原矩阵的转置。
在对偶基下，

$$ M(T')=M(T)^t. $$

3.133 列秩等于行秩。
列秩为 $\dim\operatorname{range}T$，行秩为 $\dim\operatorname{range}T'$，二者相等。

例题#

例：标准坐标泛函。
在 $F^n$ 中，$\varphi_j(x_1,\dots,x_n)=x_j$。它们是标准基的对偶基。

第 4 章多项式#

本章目录式笔记#

定义与对象#

实部、虚部、共轭、绝对值。
若 $z=a+bi$，则

\operatorname{Re}z=a,\quad \operatorname{Im}z=b,\quad \overline z=a-bi,\quad |z|=\sqrt{a^2+b^2}.

多项式与零点。
多项式写作

p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m.

若 $p(\lambda)=0$，则 $\lambda$ 是 $p$ 的零点。

次数。
最高非零系数对应的指数称为次数，记为 $\deg p$。零多项式次数不定义。

首一多项式。
最高次项系数为 $1$ 的多项式称为首一多项式。

常用性质#

复数共轭与绝对值性质#

对 $z,w\in\mathbb C$：

\overline{z+w}=\overline z+\overline w,\qquad \overline{zw}=\overline z\,\overline w,

z\overline z=|z|^2,\qquad |zw|=|z||w|,

|z+w|\le |z|+|w|.

这些性质常用于证明复多项式根的共轭成对出现。

多项式性质#

若 $p,q$ 非零，则

\deg(pq)=\deg p+\deg q,

并且

\deg(p+q)\le \max(\deg p,\deg q).

若非零多项式有超过其次数的零点，则它只能是零多项式。
若 $p(\lambda)=0$，则 $z-\lambda$ 是 $p$ 的因子；重根意味着 $(z-\lambda)^k$ 整除 $p$。

实多项式分解性质#

实系数多项式的非实根必须成共轭对，因此实数域上的不可约因子只可能是一次因子或无实根二次因子。

定理与证明#

4.4 复数的性质。
共轭与绝对值满足

\overline{z+w}=\overline z+\overline w,\qquad \overline{zw}=\overline z\,\overline w,\qquad |zw|=|z||w|.

证明：写 $z=a+bi$、$w=c+di$ 展开。

4.6 多项式的每个零点都对应一个一次因式。
$p(\lambda)=0$ 当且仅当 $z-\lambda$ 整除 $p$。

证明：用带余除法写 $p=(z-\lambda)q+r$，其中 $r$ 常数。代入 $\lambda$ 得 $r=p(\lambda)$。

4.8 次数为 $m$ 表明最多有 $m$ 个零点。
证明：对次数归纳。每找到一个零点，就由 4.6 分出一个一次因式。

4.9 多项式带余除法。
若 $p,s\in\mathcal P(F)$ 且 $s\ne0$，则存在唯一 $q,r$ 使

p=sq+r,\qquad \deg r<\deg s.

证明：存在性用最高次项消去法；唯一性用次数比较。

4.12 代数基本定理，版本一。
每个非常数复系数多项式至少有一个复零点。

证明要点：利用 $|p(z)|$ 在大圆外趋大，故在某闭圆盘内取最小值；若最小值非零，可沿合适方向微扰使模更小，矛盾。

4.13 代数基本定理，版本二。
若 $p$ 是 $m$ 次复系数多项式，则

p(z)=c(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m).

证明：反复使用版本一和一次因式定理。

4.14 实系数多项式的非实零点成对出现。
若 $p$ 实系数且 $p(\lambda)=0$，则

p(\overline\lambda)=0.

证明：实系数给出 $p(\overline z)=\overline{p(z)}$。

4.15 二次多项式的分解。
实二次多项式若无实根，则在 $\mathbb R$ 上不可分解为一次因式；在 $\mathbb C$ 上可分解为两个一次因式。

4.16 多项式在 $\mathbb R$ 上的分解。
每个实系数多项式可分解为实一次因式和不可约实二次因式的乘积。

证明：先在 $\mathbb C$ 上完全分解；非实根 $\lambda,\overline\lambda$ 配对形成实二次因子

(z-\lambda)(z-\overline\lambda).

例题#

例：实数域上分解 $x^4+1$。

x^4+1=(x^2+\sqrt2x+1)(x^2-\sqrt2x+1).

两个二次因子判别式都小于 $0$，在 $\mathbb R$ 上不可约。

第 5 章特征值和特征向量#

5A 不变子空间#

定义与对象#

算子。
$V$ 到自身的线性映射称为算子。

不变子空间。
若 $U\subseteq V$ 且

u\in U\Rightarrow Tu\in U,

则 $U$ 是 $T$ 的不变子空间。

特征值。
若 $T-\lambda I$ 不单射，则 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值。

特征向量。
若 $v\ne0$ 且

Tv=\lambda v,

则 $v$ 是对应 $\lambda$ 的特征向量。

多项式作用于算子。
若 $p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m$，定义

p(T)=a_0I+a_1T+\cdots+a_mT^m.

常用性质#

不变子空间与特征值性质#

一维子空间 $\operatorname{span}(v)$ 对 $T$ 不变，当且仅当 $v$ 是 $T$ 的特征向量。
若 $\lambda$ 是特征值，则 $T-\lambda I$ 不可逆。
不同特征值对应的特征向量线性无关，因此 $n$ 维空间中最多有 $n$ 个不同特征值。

多项式作用性质：

p(T)q(T)=(pq)(T),\qquad p(T)T=Tp(T).

因此 $\operatorname{null}p(T)$ 与 $\operatorname{range}p(T)$ 都是 $T$ 的不变子空间。

定理与证明#

5.7 成为特征值的等价条件。
$\lambda$ 是特征值，当且仅当存在非零 $v$ 使 $Tv=\lambda v$。

证明：$T-\lambda I$ 不单射等价于其零空间有非零向量。

5.11 线性无关的特征向量。
对应互异特征值的特征向量线性无关。

证明：对向量个数归纳。若 $\sum a_jv_j=0$，对式子作用 $T-\lambda_m I$，最后一项消失，剩余项仍对应互异特征值；归纳推出前面系数为零，再推出 $a_m=0$。

5.12 特征值个数不多于维数。
每个特征值取一个特征向量，由 5.11 得线性无关组，长度不超过 $\dim V$。

5.17 乘积性质。

$$ p(T)q(T)=(pq)(T). $$

证明：先对单项式验证 $T^jT^k=T^{j+k}$，再线性展开。

5.18 $p(T)$ 的零空间和值域在 $T$ 下不变。
因为 $p(T)$ 与 $T$ 可交换。若 $p(T)v=0$，则 $p(T)Tv=Tp(T)v=0$；若 $w=p(T)v$，则 $Tw=p(T)Tv$。

5.19 复向量空间上特征值存在。
若 $V$ 是非零有限维复向量空间，则每个 $T\in\mathcal L(V)$ 有特征值。

证明：取非零 $v$。向量组 $v,Tv,\dots,T^nv$ 线性相关，得到非零多项式 $p$ 使 $p(T)v=0$。在 $\mathbb C$ 上分解 $p$ 为一次因式，若每个 $T-\lambda I$ 都单射，则乘积也单射，矛盾。

例题#

例：一维不变子空间与特征向量。
$\operatorname{span}(v)$ 是 $T$ 的不变子空间，当且仅当 $v$ 是某个特征值的特征向量。因为不变性意味着 $Tv\in\operatorname{span}(v)$。

5B 最小多项式#

定义与对象#

首一多项式。
最高次项系数为 $1$ 的多项式。

最小多项式。
$T$ 的最小多项式是次数最低的首一多项式 $m_T$，满足

$$ m_T(T)=0. $$

常用性质#

最小多项式性质#

最小多项式 $m_T$ 是所有零化多项式的“最小生成元”：

q(T)=0\Longleftrightarrow m_T\mid q.

特征值完全由最小多项式的零点给出：

\lambda\in\sigma(T)\Longleftrightarrow m_T(\lambda)=0.

可逆性：

T\text{ 不可逆}\Longleftrightarrow 0\text{ 是 }T\text{ 的特征值} \Longleftrightarrow m_T(0)=0.

定理与证明#

5.22 最小多项式的存在性、唯一性和次数。
有限维空间上每个算子有唯一最小多项式，且次数不超过 $(\dim V)^2$。

证明：$\mathcal L(V)$ 维数有限，所以 $I,T,T^2,\dots,T^{n^2}$ 线性相关，存在非零 $p$ 使 $p(T)=0$。取次数最低并首一化。唯一性：两个最低首一多项式相减会给出更低次数零化多项式。

5.27 特征值即最小多项式零点。

\lambda\text{ 是 }T\text{ 的特征值} \Longleftrightarrow m_T(\lambda)=0.

证明：若 $Tv=\lambda v$，则 $m_T(T)v=m_T(\lambda)v=0$，故 $m_T(\lambda)=0$。反向若 $m_T(\lambda)=0$，写 $m_T=(z-\lambda)q$。若 $T-\lambda I$ 可逆，则 $q(T)=0$，矛盾于最小性。

5.29 零化多项式判别。

q(T)=0\Longleftrightarrow m_T\mid q.

证明：用带余除法 $q=pm_T+r$，代入 $T$ 得 $r(T)=0$；由最小性 $r=0$。

5.31 受限算子的最小多项式。
若 $U$ 对 $T$ 不变，则 $T|_U$ 的最小多项式整除 $m_T$。证明：$m_T(T)=0$ 限制到 $U$ 后仍为零。

5.32 不可逆与最小多项式常数项。
$T$ 不可逆，当且仅当 $m_T$ 常数项为 $0$。

证明：常数项为 $0$ 等价于 $0$ 是 $m_T$ 的零点，由 5.27 等价于 $0$ 是特征值，即 $T$ 不单射。

5.33 偶数维零空间。
若实空间上 $T^2+bT+cI=0$ 且 $b^2<4c$，则空间维数为偶数。证明核心：任意非零 $v$ 生成二维不变空间 $\operatorname{span}(v,Tv)$，再归纳分解。

5.34 奇数维实向量空间上的算子总有特征值。
证明：最小多项式在 $\mathbb R$ 上分解为一次和二次不可约因子。若没有实特征值，则只有二次因子，次数为偶数；这与奇数维结构矛盾。

例题#

例：若 $T^2=I$，则最小多项式整除 $z^2-1=(z-1)(z+1)$。
若 $T\ne I$ 且 $T\ne -I$，则 $m_T(z)=z^2-1$，特征值只能是 $\pm1$。

5C 上三角矩阵#

定义与对象#

算子的矩阵。
算子 $T$ 在同一组基下的矩阵记为 $M(T)$。

矩阵对角线。
$A_{1,1},A_{2,2},\dots,A_{n,n}$ 称为矩阵对角线。

上三角矩阵。
若 $j>k$ 时 $A_{j,k}=0$，则 $A$ 是上三角矩阵。

常用性质#

上三角性质#

上三角矩阵的对角线控制特征值、行列式、迹以及最小多项式的可能因子。
若 $T$ 关于某基为上三角，对角线为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，则

(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_nI)=0.

定理与证明#

5.39 上三角矩阵的条件。
$T$ 关于基 $v_1,\dots,v_n$ 有上三角矩阵，当且仅当

T v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)

对每个 $k$ 成立。

5.40 具有上三角矩阵的算子满足的等式。
若 $T$ 有上三角矩阵，对角线为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，则

(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_nI)=0.

证明：逐步作用会把嵌套子空间维数向下压，最后为零。

5.41 由上三角矩阵确定特征值。
上三角矩阵的特征值正是其对角线元素。

证明：$T-\lambda I$ 的矩阵仍上三角，对角线为 $\lambda_j-\lambda$。当某项为零时不可逆；若全非零，可回代求逆。

5.44 存在上三角矩阵的充要条件。
$T$ 有上三角矩阵，当且仅当 $m_T$ 可分解为一次因式。

证明：有上三角矩阵时由 5.40 得最小多项式整除一次因式乘积。反向用一次因式得到特征值，再在商空间上归纳。

5.47 复空间上每个算子都有上三角矩阵。
证明：复空间上最小多项式分解为一次因式，用 5.44。

例题#

例：上三角矩阵

\begin{pmatrix} 2&1&3\\ 0&2&4\\ 0&0&5 \end{pmatrix}

的特征值是 $2,2,5$。

5D 可对角化算子#

定义与对象#

对角矩阵。
非对角线元素全为 $0$ 的矩阵。

可对角化。
若存在一组基使 $T$ 的矩阵为对角矩阵，则 $T$ 可对角化。

特征空间。

E(\lambda,T)=\operatorname{null}(T-\lambda I).

格什戈林圆盘。
矩阵 $A$ 的第 $j$ 个格什戈林圆盘为

\{z\in\mathbb C:|z-A_{j,j}|\le\sum_{k\ne j}|A_{j,k}|\}.

常用性质#

对角化性质#

可对角化的等价条件：

T\text{ 可对角化} \Longleftrightarrow V\text{ 有特征向量基}

\Longleftrightarrow V=\bigoplus_{\lambda}E(\lambda,T) \Longleftrightarrow m_T\text{ 分解为互异一次因式}.

若 $T$ 有 $\dim V$ 个互异特征值，则必可对角化；反向不一定成立。

定理与证明#

5.54 特征空间之和是直和。
不同特征值的特征空间之和为直和。证明来自不同特征值特征向量线性无关。

5.55 可对角化的等价条件。
$T$ 可对角化，当且仅当 $V$ 有一组由 $T$ 的特征向量构成的基；也等价于

V=E(\lambda_1,T)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,T).

证明：对角矩阵的基向量都是特征向量；反过来，特征向量基下矩阵就是对角矩阵。

5.58 特征值足够多意味着可对角化。
若 $n$ 维空间中 $T$ 有 $n$ 个不同特征值，则 $T$ 可对角化。证明：取对应特征向量得到 $n$ 个线性无关向量。

5.62 可对角化的充要条件。
$T$ 可对角化，当且仅当最小多项式分解为互异的一次因式。

证明：若可对角化，则对角线上每个不同特征值只需一次因子即可零化。反向若最小多项式无重根且分解一次因式，可用核空间直和分解得到特征空间直和为全空间。

5.65 可对角化算子限制于不变子空间。
若 $T$ 可对角化且 $U$ 对 $T$ 不变，则 $T|_U$ 可对角化。

证明：$T|_U$ 的最小多项式整除 $T$ 的最小多项式，故也分解为互异一次因式。

5.67 格什戈林圆盘定理。
矩阵的每个特征值都落在至少一个格什戈林圆盘中。

证明：若 $Av=\lambda v$，取 $|v_j|$ 最大的坐标。第 $j$ 行给出

(\lambda-A_{j,j})v_j=\sum_{k\ne j}A_{j,k}v_k.

取绝对值并用 $|v_k|\le |v_j|$。

例题#

例：判断可对角化。

A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}

有两个不同特征值 $2,3$，因此可对角化。

5E 可交换算子#

定义与对象#

可交换。
算子 $S,T$ 可交换，指

$$ ST=TS. $$

同时对角化、同时上三角化。
若存在同一组基使一族算子的矩阵全为对角矩阵，称可同时对角化；若全为上三角矩阵，称可同时上三角化。

常用性质#

可交换性质#

若 $ST=TS$，则 $S$ 保持 $T$ 的每个特征空间。
一族可对角化算子可同时对角化，当且仅当它们两两可交换。
复空间上一族两两可交换算子一定可同时上三角化。

定理与证明#

5.74 可交换算子对应可交换矩阵。
固定同一组基，

ST=TS\Longleftrightarrow M(S)M(T)=M(T)M(S).

5.75 特征空间在可交换算子下不变。
若 $ST=TS$，则 $E(\lambda,T)$ 对 $S$ 不变。

证明：若 $Tv=\lambda v$，则

T(Sv)=S(Tv)=\lambda Sv.

5.76 可同时对角化等价于可交换性。
一族可对角化算子可同时对角化，当且仅当它们两两可交换。

证明：同一对角基下显然两两可交换。反向用一个算子的特征空间直和分解，其余算子保持每个特征空间不变，再在各特征空间内归纳。

5.78 可交换算子的公共特征向量。
复空间上一族两两可交换算子存在公共特征向量。

证明：先取一个算子的特征空间，其余算子保持它不变；在这个非零复空间内继续取特征向量。

5.80 可交换算子可同时上三角化。
复空间上一族两两可交换算子可同时上三角化。

证明：取公共特征向量作为第一基向量，再在商空间上归纳。

5.81 可交换算子的和与积的特征值。
同时上三角化后，和的对角线是对角线之和，积的对角线是对角线之积，因此可从公共三角形式读出特征值。

例题#

例：两个对角矩阵必可交换。
若 $D_1,D_2$ 都是对角矩阵，则 $D_1D_2$ 和 $D_2D_1$ 的第 $j$ 个对角元都是对应对角元乘积。

第 6 章内积空间#

6A 内积和范数#

定义与对象#

点积。
在 $F^n$ 中，标准内积是

\langle x,y\rangle=x_1\overline{y_1}+\cdots+x_n\overline{y_n}.

内积。
内积是函数 $\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to F$，满足正定性、第一变量线性和共轭对称性：

\langle v,v\rangle\ge0,\quad \langle v,v\rangle=0\Leftrightarrow v=0,

\langle au+bv,w\rangle=a\langle u,w\rangle+b\langle v,w\rangle,

\langle v,w\rangle=\overline{\langle w,v\rangle}.

内积空间。
带有内积的向量空间。

范数。

\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.

正交。
$u\perp v$ 指 $\langle u,v\rangle=0$。

常用性质#

内积、范数、正交性质#

内积的第二变量满足共轭线性：

\langle u,av+bw\rangle=\overline a\langle u,v\rangle+\overline b\langle u,w\rangle

（在本书采用第一变量线性的约定下）。
范数性质：

\|v\|\ge0,\quad \|v\|=0\Longleftrightarrow v=0,\quad \|av\|=|a|\|v\|.

重要不等式：

|\langle u,v\rangle|\le \|u\|\|v\|,\qquad \|u+v\|\le \|u\|+\|v\|.

平行四边形等式：

\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\|u\|^2+2\|v\|^2.

定理与证明#

6.6 内积基本性质。
第二变量共轭线性、$\langle 0,v\rangle=0$ 等性质由定义推出。

6.9 范数基本性质。

\|v\|=0\Leftrightarrow v=0,\qquad \|\lambda v\|=|\lambda|\|v\|.

6.11 正交性和零向量。
$0$ 与每个向量正交；若 $v\perp v$，则 $v=0$。

6.12 毕达哥拉斯定理。
若 $u\perp v$，则

\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2.

证明：展开 $\langle u+v,u+v\rangle$，交叉项为零。

6.13 一种正交分解。
若 $u\ne0$，则

v=\frac{\langle v,u\rangle}{\|u\|^2}u+ \left(v-\frac{\langle v,u\rangle}{\|u\|^2}u\right),

第二项与 $u$ 正交。

6.14 柯西-施瓦茨不等式。

|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|.

证明：若 $v\ne0$，对

u-\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v

取范数平方并利用非负性。

6.17 三角不等式。

\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.

证明：展开 $\|u+v\|^2$，用柯西-施瓦茨控制交叉项。

6.21 平行四边形等式。

\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\|u\|^2+2\|v\|^2.

证明：分别展开，两项交叉项相消。

例题#

例：函数空间内积。
在 $C[0,1]$ 上定义

\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(x)g(x)\,dx

是实内积。正定性来自连续非负函数积分为零只可能恒为零。

6B 规范正交基#

定义与对象#

规范正交组。
$e_1,\dots,e_m$ 满足

\langle e_j,e_k\rangle= \begin{cases} 1,&j=k,\\ 0,&j\ne k, \end{cases}

则称为规范正交组。

规范正交基。
既是规范正交组又是基。

线性泛函与对偶空间。
内积空间上的线性泛函仍是 $V\to F$ 的线性映射，所有线性泛函构成 $V'$。

常用性质#

规范正交性质#

规范正交组自动线性无关。若 $e_1,\dots,e_m$ 规范正交，则

\left\|\sum a_je_j\right\|^2=\sum |a_j|^2.

贝塞尔不等式：

\sum_{j=1}^m|\langle v,e_j\rangle|^2\le \|v\|^2.

若 $e_1,\dots,e_n$ 是规范正交基，则

v=\sum_{j=1}^n\langle v,e_j\rangle e_j,\qquad \|v\|^2=\sum_{j=1}^n|\langle v,e_j\rangle|^2.

定理与证明#

6.24 规范正交组线性组合的范数。

\left\|\sum a_je_j\right\|^2=\sum |a_j|^2.

证明：展开内积，非对角项为零。

6.25 规范正交组线性无关。
若 $\sum a_je_j=0$，由 6.24 得 $\sum |a_j|^2=0$，故所有 $a_j=0$。

6.26 贝塞尔不等式。
若 $e_1,\dots,e_m$ 规范正交，则

\sum_{j=1}^m|\langle v,e_j\rangle|^2\le\|v\|^2.

证明：把 $v$ 分成投影部分和正交余项，再用毕达哥拉斯定理。

6.28 长度恰好的规范正交组是规范正交基。
$n$ 维空间中长度为 $n$ 的规范正交组线性无关，故为基。

6.30 规范正交基展开。
若 $e_1,\dots,e_n$ 是规范正交基，则

v=\sum_{j=1}^n\langle v,e_j\rangle e_j.

6.32 格拉姆-施密特过程。
任意线性无关组可转化为张成空间相同的规范正交组。

证明：令 $e_1=v_1/\|v_1\|$。递推定义

w_k=v_k-\sum_{j<k}\langle v_k,e_j\rangle e_j,\qquad e_k=w_k/\|w_k\|.

$w_k$ 与前面 $e_j$ 正交，且不为零。

6.35 规范正交基存在。
有限维内积空间先取普通基，再用 Gram-Schmidt。

6.36 规范正交组可扩充为规范正交基。
先扩充成普通基，再对新增部分做 Gram-Schmidt。

6.37 关于某个规范正交基有上三角矩阵。
复内积空间上任意算子可在某规范正交基下表示为上三角矩阵。

6.38 舒尔定理。
复内积空间上任意算子可由幺正换基变为上三角矩阵。证明用特征向量和归纳。

6.42 里斯表示定理。
有限维内积空间上每个线性泛函 $\varphi$ 都唯一表示为

\varphi(v)=\langle v,u\rangle

的形式。

证明：取规范正交基 $e_j$，令

u=\sum_j\overline{\varphi(e_j)}e_j

并展开验证。唯一性由 $\langle v,u-u'\rangle=0$ 对所有 $v$ 成立推出。

例题#

例：正交化 $(1,1,0),(1,0,1)$。

e_1=\frac1{\sqrt2}(1,1,0),

w_2=(1,0,1)-\left\langle(1,0,1),e_1\right\rangle e_1 =\left(\frac12,-\frac12,1\right),

故

e_2=\frac1{\sqrt6}(1,-1,2).

6C 正交补和最小化问题#

定义与对象#

正交补。

U^\perp=\{v\in V:\langle v,u\rangle=0\ \forall u\in U\}.

正交投影。
若 $V=U\oplus U^\perp$，则 $P_Uv$ 是 $v$ 在 $U$ 中的分量。

伪逆。
对 $T\in\mathcal L(V,W)$，伪逆 $T^\dagger$ 通过把 $\operatorname{range}T$ 中的向量沿同构

T|_{(\operatorname{null}T)^\perp}

拉回，并在 $(\operatorname{range}T)^\perp$ 上取零来定义。

常用性质#

正交补、投影、伪逆性质#

正交补：

U^\perp\text{ 是子空间},\qquad U\cap U^\perp=\{0\},

V=U\oplus U^\perp,\qquad \dim U^\perp=\dim V-\dim U,\qquad (U^\perp)^\perp=U.

正交投影：

P_U^2=P_U,\quad \operatorname{range}P_U=U,\quad \operatorname{null}P_U=U^\perp.

最小化性质：$P_Uv$ 是 $U$ 中距离 $v$ 最近的向量。
伪逆性质：

TT^\dagger=P_{\operatorname{range}T},\qquad T^\dagger T=P_{(\operatorname{null}T)^\perp}.

定理与证明#

6.48 正交补性质。
$U^\perp$ 是子空间；$U\cap U^\perp=\{0\}$；若 $U\subseteq W$，则 $W^\perp\subseteq U^\perp$。

6.49 子空间及其正交补的直和。
若 $U$ 是有限维内积空间 $V$ 的子空间，则

V=U\oplus U^\perp.

证明：取 $U$ 的规范正交基，扩充为 $V$ 的规范正交基。

6.51 正交补维数。

\dim U^\perp=\dim V-\dim U.

6.52 双重正交补。
有限维时

(U^\perp)^\perp=U.

证明：包含关系显然，维数相同。

6.54 $U^\perp=\{0\}$ 等价于 $U=V$。
由维数公式直接推出。

6.57 正交投影性质。

P_U^2=P_U,\quad \operatorname{range}P_U=U,\quad \operatorname{null}P_U=U^\perp.

证明：写 $v=u+w$，其中 $u\in U,w\in U^\perp$，则 $P_Uv=u$。

6.58 里斯表示定理再讨论。
$u\mapsto\langle\cdot,u\rangle$ 给出 $V$ 与 $V'$ 的自然对应；注意复空间中它对标量可能是共轭线性的，取决于内积线性变量约定。

6.61 到子空间的最短距离。
$P_Uv$ 是 $U$ 中离 $v$ 最近的向量。

证明：任意 $x\in U$，

$$ v-x=(v-P_Uv)+(P_Uv-x), $$

两项正交，故

\|v-x\|^2=\|v-P_Uv\|^2+\|P_Uv-x\|^2.

6.67 限制线性映射得到同构。

T|_{(\operatorname{null}T)^\perp}:(\operatorname{null}T)^\perp\to\operatorname{range}T

既单又满。

6.69 伪逆代数性质。

TT^\dagger=P_{\operatorname{range}T},\qquad T^\dagger T=P_{(\operatorname{null}T)^\perp}.

6.70 伪逆给出最佳近似解或最优解。
最小二乘问题中，$T^\dagger w$ 给出与零空间正交的最佳解。

例题#

例：投影到直线。
若 $U=\operatorname{span}(u)$ 且 $u\ne0$，则

P_Uv=\frac{\langle v,u\rangle}{\|u\|^2}u.

第 7 章内积空间上的算子#

7A 自伴算子和正规算子#

定义与对象#

伴随。
$T^*\in\mathcal L(W,V)$ 满足

\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle.

共轭转置。
矩阵 $A^*$ 是先转置再共轭。

自伴。
$T=T^*$。

正规。

$$ T^*T=TT^*. $$

常用性质#

伴随、自伴、正规性质#

伴随运算：

(S+T)^*=S^*+T^*,\quad (\lambda T)^*=\overline\lambda T^*,\quad (ST)^*=T^*S^*,\quad (T^*)^*=T.

零空间和值域：

\operatorname{null}T^*=(\operatorname{range}T)^\perp,\qquad \operatorname{range}T^*=(\operatorname{null}T)^\perp.

自伴算子特征值为实数。
正规算子满足

T^*T=TT^* \Longleftrightarrow \|Tv\|=\|T^*v\|\ \forall v.

若 $T$ 正规且 $Tv=\lambda v$，则

T^*v=\overline\lambda v.

正规算子的不同特征值对应的特征向量正交。

定理与证明#

7.4 伴随是线性映射。
证明：由伴随定义和表示向量唯一性验证加法、数乘。

7.5 伴随性质。

(S+T)^*=S^*+T^*,\quad (\lambda T)^*=\overline\lambda T^*,\quad (ST)^*=T^*S^*.

7.6 伴随的零空间和值域。

\operatorname{null}T^*=(\operatorname{range}T)^\perp,\qquad \operatorname{range}T^*=(\operatorname{null}T)^\perp.

7.9 伴随矩阵是共轭转置。
在规范正交基下，

$$ M(T^*)=M(T)^*. $$

7.12 自伴算子的特征值为实数。
若 $Tv=\lambda v$，则

\lambda\|v\|^2=\langle Tv,v\rangle=\langle v,Tv\rangle=\overline\lambda\|v\|^2.

7.13 复空间中二次型恒零推出算子为零。
若 $\langle Tv,v\rangle=0$ 对所有 $v$ 成立，则 $T=0$。证明用极化恒等式恢复 $\langle Tu,v\rangle$。

7.14 复空间中二次型实值等价于自伴。
令 $A=T-T^*$，用 7.13 证明 $A=0$。

7.16 自伴且二次型恒零等价于零算子。
实情形用对称双线性极化公式；复情形用 7.13。

7.20 正规判别。

T\text{ 正规}\Longleftrightarrow \|Tv\|=\|T^*v\|\quad \forall v.

证明：比较 $\|Tv\|^2$ 与 $\|T^v\|^2$，得到二次型 $\langle(T^T-TT^*)v,v\rangle$。

7.21 正规算子的零空间、值域和特征向量。
若 $T$ 正规，则 $\operatorname{null}T=\operatorname{null}T^$；若 $Tv=\lambda v$，则 $T^v=\overline\lambda v$。

7.22 正规算子不同特征值对应特征向量正交。
证明：利用 $T^*v=\overline\lambda v$，把 $\langle Tu,v\rangle$ 用两种方式计算。

7.23 正规等价于实部与虚部可交换。
写

T=A+iB,\quad A=\frac{T+T^*}{2},\quad B=\frac{T-T^*}{2i}.

展开 $T^T=TT^$ 等价于 $AB=BA$。

例题#

例：实对称矩阵给出自伴算子。
在标准内积下，实矩阵 $A$ 自伴当且仅当 $A^t=A$。

7B 谱定理#

定义与对象#

谱定理的对象。
谱定理研究什么时候可以找到由特征向量组成的规范正交基。它是“可对角化”加上“正交性”的强化版本。

常用性质#

谱定理性质#

实内积空间：

T\text{ 有规范正交特征向量基} \Longleftrightarrow T=T^*.

复内积空间：

T\text{ 有规范正交特征向量基} \Longleftrightarrow T\text{ 正规}.

自伴算子的最小多项式分解为互异一次因式。

定理与证明#

7.26 可逆二次表达式。
若 $T$ 自伴且 $b^2<4c$，则

$$ T^2+bT+cI $$

可逆。

证明：若不可逆，则存在特征值 $\lambda$ 使 $\lambda^2+b\lambda+c=0$，但判别式小于零无实根，矛盾。

7.27 自伴算子的最小多项式。
自伴算子的最小多项式分解为互异的一次因式。

证明：自伴算子特征值实；用 7.26 排除不可约二次因子，再排除重因子。

7.29 实谱定理。
实内积空间上，$T$ 有规范正交特征向量基，当且仅当 $T$ 自伴。

证明：若有规范正交特征向量基，则矩阵为实对角矩阵，自伴。反向由自伴性取特征向量，其正交补不变，再归纳。

7.31 复谱定理。
复内积空间上，$T$ 有规范正交特征向量基，当且仅当 $T$ 正规。

证明：有规范正交特征向量基时矩阵为对角矩阵，故正规。反向取特征向量，正规性保证其正交补不变，再归纳。

例题#

例：正规但不自伴。
复空间上的

\begin{pmatrix}i&0\\0&2\end{pmatrix}

是正规矩阵，但不是自伴，因为特征值 $i$ 非实。

7C 正算子#

定义与对象#

正算子。
$T$ 正，指 $T$ 自伴且

\langle Tv,v\rangle\ge0

对所有 $v$ 成立。

平方根。
$S$ 是 $T$ 的平方根，指 $S^2=T$。

正平方根。
若 $S$ 正且 $S^2=T$，称 $S$ 为 $T$ 的正平方根，记为 $\sqrt T$。

常用性质#

正算子性质#

正算子等价刻画：

T\ge0 \Longleftrightarrow T=T^*\text{ 且所有特征值非负} \Longleftrightarrow T=R^*R\text{ 对某个 }R.

每个正算子有唯一正平方根 $\sqrt T$。若 $T\ge0$ 且 $\langle Tv,v\rangle=0$，则 $Tv=0$。

定理与证明#

7.38 正算子刻画。
$T$ 正，当且仅当 $T$ 自伴且所有特征值非负；也等价于存在 $R$ 使 $T=R^*R$。

证明：用谱定理把 $T$ 对角化。二次型

\langle Tv,v\rangle=\sum\lambda_j|a_j|^2

非负当且仅当所有 $\lambda_j\ge0$。

7.39 每个正算子有唯一正平方根。
证明：谱分解下把每个非负特征值 $\lambda_j$ 换成 $\sqrt{\lambda_j}$。唯一性来自正平方根在每个谱方向上只能取非负平方根。

7.43 若 $T$ 正且 $\langle Tv,v\rangle=0$，则 $Tv=0$。
令 $S=\sqrt T$，则

0=\langle Tv,v\rangle=\|Sv\|^2,

故 $Sv=0$，从而 $Tv=0$。

例题#

例：正矩阵。
对角矩阵 $\operatorname{diag}(4,9)$ 的正平方根是 $\operatorname{diag}(2,3)$。

7D 等距映射、幺正算子和矩阵分解#

定义与对象#

等距映射。
$T$ 等距，指

\|Tv\|=\|v\|\quad \forall v.

幺正算子。
同一内积空间上的可逆等距算子。实情形常称正交算子。

幺正矩阵。
矩阵 $A$ 满足

$$ A^*A=I. $$

正定矩阵。
自伴矩阵 $A$ 满足 $x^*Ax>0$ 对所有非零 $x$ 成立。

常用性质#

等距、幺正、分解性质#

等距等价条件：

\|Tv\|=\|v\|\ \forall v \Longleftrightarrow \langle Tu,Tv\rangle=\langle u,v\rangle \Longleftrightarrow T^*T=I.

幺正算子：

T^{-1}=T^*,\qquad T^*T=TT^*=I.

幺正算子特征值绝对值为 $1$。
QR 分解来自 Gram-Schmidt；Cholesky 分解适用于正定矩阵。

定理与证明#

7.49 等距映射的特性。
等距、保持内积、把规范正交组送到规范正交组、满足 $T^*T=I$ 等价。

证明：保持范数用极化恒等式推出保持内积；$T^*T=I$ 等价于 $\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle$。

7.53 幺正算子的特性。
幺正等价于

T^*T=TT^*=I,\qquad T^{-1}=T^*.

7.54 幺正算子的特征值绝对值为 $1$。
若 $Tv=\lambda v$，则

\|v\|=\|Tv\|=|\lambda|\|v\|.

7.55 复内积空间上幺正算子的描述。
复幺正算子可由规范正交基对角化，且所有特征值绝对值为 $1$。

7.57 幺正矩阵特性。
矩阵幺正等价于列规范正交，也等价于行规范正交。

7.58 QR 分解。
列线性无关矩阵 $A$ 可分解为

$$ A=QR, $$

其中 $Q$ 列规范正交，$R$ 上三角且对角线正。

证明：对 $A$ 的列向量做 Gram-Schmidt。

7.61 可逆正算子。
正算子可逆，当且仅当

\langle Tv,v\rangle>0\quad(v\ne0).

证明：谱定理下等价于所有特征值严格为正。

7.63 科列斯基分解。
正定矩阵 $A$ 可写成

$$ A=R^*R, $$

其中 $R$ 上三角且对角线正。

例题#

例：二维旋转矩阵是幺正矩阵。
旋转矩阵列向量互相正交且长度为 $1$，所以 $A^tA=I$。

7E 奇异值分解#

定义与对象#

奇异值。
$T$ 的奇异值是正算子 $T^*T$ 的特征值的非负平方根。

对角矩阵。
此处允许矩形对角矩阵，即只有主对角线位置可能非零。

常用性质#

奇异值性质#

奇异值是 $T^*T$ 的特征值平方根。
正奇异值个数等于 $\dim\operatorname{range}T$。
SVD：

Te_j=s_jf_j,\qquad A=U\Sigma V^*.

伪逆在 SVD 下把非零奇异值 $s_j$ 替换为 $s_j^{-1}$，把零奇异值方向送为零。

定理与证明#

*7.64 $T^T$ 的性质。*
$T^T$ 是正算子，且

\operatorname{null}(T^*T)=\operatorname{null}T.

证明：

\langle T^*Tv,v\rangle=\|Tv\|^2.

7.68 正奇异值的作用。
正奇异值个数等于 $\dim\operatorname{range}T$。

证明：在 $T^*T$ 的规范正交特征向量基下，零奇异值对应 $\operatorname{null}T$，非零奇异值对应值域方向。

7.69 所有奇异值为 $1$ 等价于等距。
若所有奇异值为 $1$，则 $\|Tv\|=\|v\|$；反向由 $T^*T=I$ 得所有特征值为 $1$。

7.70 奇异值分解。
存在 $V$ 的规范正交基 $e_j$ 与 $W$ 的规范正交组/基 $f_j$，使

Te_j=s_jf_j,\qquad s_j\ge0.

证明：对 $T^T$ 用谱定理。若 $T^Te_j=s_j^2e_j$ 且 $s_j>0$，定义 $f_j=Te_j/s_j$，可验证 $f_j$ 规范正交。

7.75 伴随和伪逆的奇异值分解。
若 $Te_j=s_jf_j$，则

T^*f_j=s_je_j,\qquad T^\dagger f_j= \begin{cases} s_j^{-1}e_j,&s_j>0,\\ 0,&s_j=0. \end{cases}

7.80 SVD 的矩阵版本。
任意矩阵可写成

A=U\Sigma V^*,

其中 $U,V$ 幺正，$\Sigma$ 为非负对角形矩阵。

例题#

例：对角矩阵的奇异值。

A=\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}.

$A^*A=\operatorname{diag}(9,4)$，奇异值为 $3,2$。

7F 奇异值分解的推论#

定义与对象#

线性映射范数。

\|T\|=\sup_{\|v\|=1}\|Tv\|.

球、椭球、平行体、长方体、体积。
单位球在可逆线性映射下变成椭球；平行体由若干边向量张成；体积通过长方体和线性变换的缩放定义。

常用性质#

范数与体积性质#

算子范数：

\|T\|=\max_{\|v\|=1}\|Tv\|=\text{最大奇异值}.

并且

\|S+T\|\le\|S\|+\|T\|,\qquad \|ST\|\le\|S\|\|T\|,\qquad \|T^*\|=\|T\|.

可逆算子把球变成椭球，把某些长方体变成长方体，体积缩放倍数是奇异值乘积。

定理与证明#

7.82 $\|Tv\|$ 的上界。
若最大奇异值为 $s_1$，则

\|Tv\|\le s_1\|v\|.

7.87 线性映射范数性质。
范数满足非负性、齐次性、三角不等式和

\|ST\|\le\|S\|\,\|T\|.

7.88 $\|T\|$ 的多种表达式。

\|T\|=\text{最大奇异值}.

证明：在奇异向量基下展开 $v$。

7.91 伴随范数。

\|T^*\|=\|T\|.

证明：$T$ 与 $T^*$ 有相同非零奇异值。

7.92 最佳低秩逼近。
若 $s_1\ge\cdots\ge s_n$ 是奇异值，则用值域维数至多为 $k$ 的线性映射逼近 $T$ 的最小误差为 $s_{k+1}$。截断 SVD 达到最优。

7.93 极分解。

T=S\sqrt{T^*T}

其中 $S$ 是合适的等距/部分等距映射。

7.99 可逆算子化球为椭球。
证明：SVD 中幺正因子保持球，对角奇异值缩放球为椭球。

7.101 可逆算子化椭球为椭球。
椭球是某可逆算子作用于球，复合可逆算子仍可逆。

7.104 可逆算子化平行体为平行体。
线性映射把边向量送到边向量，线性组合系数范围不变。

7.107 每个可逆算子将某些长方体化为长方体。
取 SVD 的右奇异向量作为原长方体边，左奇异向量作为像长方体边。

7.111 体积变化倍数是奇异值乘积。
可逆 $T$ 把体积乘以

s_1\cdots s_n.

例题#

例：二维缩放的体积倍数。
$T(x,y)=(3x,2y)$ 的奇异值是 $3,2$，面积放大 $6$ 倍。

第 8 章复向量空间上的算子#

8A 广义特征向量和幂零算子#

定义与对象#

广义特征向量。
若 $v\ne0$ 且

(T-\lambda I)^k v=0

对某个正整数 $k$ 成立，则 $v$ 是对应 $\lambda$ 的广义特征向量。

幂零算子。
若 $N^k=0$ 对某个正整数 $k$ 成立，则 $N$ 幂零。

常用性质#

广义特征向量与幂零性质#

零空间链：

\operatorname{null}T\subseteq\operatorname{null}T^2\subseteq\cdots

一旦某一步相等，之后永远相等。$n$ 维空间中第 $n$ 步必停止增长。
对任意 $T\in\mathcal L(V)$：

V=\operatorname{null}T^n\oplus\operatorname{range}T^n.

幂零算子 $N$ 在 $n$ 维空间上满足 $N^n=0$，其唯一可能特征值为 $0$。

定理与证明#

8.1 递增的零空间序列。

\operatorname{null}T^k\subseteq\operatorname{null}T^{k+1}.

8.2 零空间序列中的等式。
若 $\operatorname{null}T^k=\operatorname{null}T^{k+1}$，则之后全部相等。

证明：若 $T^{k+2}v=0$，则 $Tv\in\operatorname{null}T^{k+1}=\operatorname{null}T^k$，所以 $v\in\operatorname{null}T^{k+1}$。

8.3 零空间停止增长。
若 $\dim V=n$，则

\operatorname{null}T^n=\operatorname{null}T^{n+1}=\cdots.

8.4 零空间和值域的直和。

V=\operatorname{null}T^n\oplus\operatorname{range}T^n.

证明：维数由基本定理给出；交为零由零空间停止增长推出。

8.9 由广义特征向量构成的基。
复有限维空间中存在由广义特征向量构成的基。

证明要点：反复对 $T-\lambda I$ 使用 8.4，把空间分解为广义特征部分与剩余部分。

8.11 广义特征向量对应唯一特征值。
证明：若同一非零向量对应 $\lambda\ne\mu$，则 $(z-\lambda)^m$ 与 $(z-\mu)^k$ 互素；用 Bezout 恒等式代入 $T$ 得 $v=0$，矛盾。

8.12 线性无关的广义特征向量。
不同特征值对应的广义特征向量线性无关。证明用互素多项式消去法。

8.16 $n$ 维空间上幂零算子的 $n$ 次幂为 $0$。
由零空间停止增长：若最终零空间为 $V$，则第 $n$ 步已经达到 $V$。

8.17 幂零算子的特征值。
幂零算子的唯一可能特征值是 $0$。若 $Nv=\lambda v$，则 $N^kv=\lambda^kv=0$。

8.18 幂零算子的最小多项式和上三角矩阵。
幂零算子的最小多项式形如 $z^m$，并可在某基下表示为严格上三角矩阵。

例题#

例：

N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

满足 $N^2=0$，所以幂零；其唯一特征值为 $0$。

8B 广义特征空间分解#

定义与对象#

广义特征空间。
若 $\dim V=n$，

G(\lambda,T)=\operatorname{null}(T-\lambda I)^n.

重数。
特征值 $\lambda$ 的重数定义为

\dim G(\lambda,T).

特征多项式。
若不同特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$，重数为 $d_j$，定义

p_T(z)=\prod_{j=1}^m(z-\lambda_j)^{d_j}.

分块对角矩阵。
对角线上由若干方块矩阵组成，其余块为零的矩阵。

常用性质#

广义特征空间性质#

广义特征空间：

G(\lambda,T)=\operatorname{null}(T-\lambda I)^n.

复有限维空间上：

V=\bigoplus_{\lambda}G(\lambda,T).

特征值重数为 $\dim G(\lambda,T)$，所有重数之和为 $\dim V$。
特征多项式由这些重数定义，且满足 Cayley-Hamilton：

$$ p_T(T)=0. $$

定理与证明#

8.20 广义特征空间的描述。
$G(\lambda,T)$ 正是所有对应 $\lambda$ 的广义特征向量加零向量。证明用 8.3。

8.22 广义特征空间分解。
若 $V$ 是复有限维空间，则

V=G(\lambda_1,T)\oplus\cdots\oplus G(\lambda_m,T).

证明：广义特征向量基按特征值分组；直和性来自 8.12。

8.25 重数之和等于维数。

\sum_j\dim G(\lambda_j,T)=\dim V.

8.28 特征多项式的次数和零点。
$p_T$ 次数为 $\dim V$，零点正是 $T$ 的特征值。

8.29 Cayley-Hamilton 定理。

$$ p_T(T)=0. $$

证明：在每个 $G(\lambda_j,T)$ 上，$(T-\lambda_j I)^{d_j}=0$；直和分解覆盖全空间。

8.30 特征多项式是最小多项式的倍数。
由 8.29 和最小多项式整除所有零化多项式。

8.31 特征值重数等于其在上三角矩阵对角线上出现次数。
在适配广义特征空间的基下，矩阵分块上三角，每块对角线全为对应特征值。

8.37 由上三角块构成的分块对角矩阵。
取各广义特征空间的基并合并，可得按特征值分块的上三角块矩阵。

例题#

例：若 $T$ 有两个特征值 $\lambda,\mu$，且 $\dim G(\lambda,T)=2,\dim G(\mu,T)=1$，则三维空间分解为

V=G(\lambda,T)\oplus G(\mu,T).

8C 广义特征空间分解的推论#

定义与对象#

若当基。
对幂零算子 $N$，由链

v,Nv,\dots,N^{k-1}v

组成的基称为若当基的一部分。

若当型。
矩阵由若当块组成：

J(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda&1&&0\\ &\lambda&\ddots&\\ &&\ddots&1\\ 0&&&\lambda \end{pmatrix}.

常用性质#

若当型性质#

在 $G(\lambda,T)$ 上，

T=\lambda I+N

其中 $N$ 幂零。幂零算子有若当基，因此复有限维空间上任意算子都有若当型。
可逆复算子有平方根，因为每个广义特征空间上可分别对 $\lambda(I+N)$ 开平方。

定理与证明#

8.39 恒等算子加幂零算子有平方根。
若 $N$ 幂零，则 $I+N$ 有平方根。

证明：把二项式级数 $(1+x)^{1/2}$ 代入 $N$；因 $N^m=0$，级数有限截断。

8.41 复空间上可逆算子有平方根。
在每个广义特征空间上写

T=\lambda(I+N),

其中 $\lambda\ne0$，$N$ 幂零。取 $\sqrt\lambda$ 与 $I+N$ 的平方根后拼合。

8.45 每个幂零算子都有若当基。
证明思路：研究

\operatorname{null}N\subseteq\operatorname{null}N^2\subseteq\cdots

的增长，选择链顶向量，再沿 $N$ 生成链。

8.46 若当型。
复有限维空间上每个算子都有若当型。

证明：先用广义特征空间分解；在每个 $G(\lambda,T)$ 上，$T=\lambda I+N$，其中 $N$ 幂零，再对 $N$ 取若当基。

例题#

例：

\begin{pmatrix} 2&1\\ 0&2 \end{pmatrix}

是一个大小为 $2$ 的若当块。它不可对角化，因为特征空间维数为 $1$。

8D 联系矩阵与算子的桥梁：迹#

定义与对象#

矩阵的迹。

\operatorname{tr}A=A_{1,1}+\cdots+A_{n,n}.

算子的迹。
算子的迹定义为它在任意基下矩阵的迹；定理保证该定义与基无关。

常用性质#

迹性质#

\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),

所以相似矩阵迹相同。复空间上

\operatorname{tr}T=\text{特征值按重数之和}.

迹是线性的。交换子 $ST-TS$ 的迹为 $0$，因此恒等算子不能写成交换子。

定理与证明#

8.49 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$。
证明：

\operatorname{tr}(AB)=\sum_j\sum_k A_{j,k}B_{k,j} =\sum_k\sum_j B_{k,j}A_{j,k} =\operatorname{tr}(BA).

8.50 算子的矩阵迹不依赖基。
换基后矩阵为 $P^{-1}AP$，而

\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(APP^{-1})=\operatorname{tr}A.

8.52 复空间上迹等于特征值之和。
取上三角矩阵表示，迹是对角线之和，而对角线正是特征值按重数排列。

8.54 迹与特征多项式。
特征多项式中 $z^{n-1}$ 的系数为 $-\operatorname{tr}T$。

8.55 内积空间上的迹。
若 $e_1,\dots,e_n$ 是规范正交基，则

\operatorname{tr}T=\sum_j\langle Te_j,e_j\rangle.

8.56 迹是线性的。

\operatorname{tr}(S+T)=\operatorname{tr}S+\operatorname{tr}T,\qquad \operatorname{tr}(aT)=a\operatorname{tr}T.

8.57 恒等算子不是交换子。
不存在 $S,T$ 使

$$ I=ST-TS. $$

证明：两边取迹，左边为 $\dim V$，右边为 $0$。

例题#

例：迹快速排除。
若某矩阵迹不为 $0$，则它不可能写成 $AB-BA$。

第 9 章多重线性代数和行列式#

9A 双线性型和二次型#

定义与对象#

双线性型。
$\beta:V\times V\to F$ 对两个变量分别线性。

双线性型矩阵。
给定基 $v_1,\dots,v_n$，

M(\beta)_{j,k}=\beta(v_k,v_j)

或按教材约定记录各基向量对上的取值。

对称双线性型。

\beta(u,v)=\beta(v,u).

交错双线性型。

\beta(v,v)=0\quad \forall v.

二次型。
与对称双线性型 $\beta$ 关联的函数

q(v)=\beta(v,v).

常用性质#

双线性型与二次型性质#

双线性型由基向量对上的取值完全决定，维数为 $(\dim V)^2$。
任意双线性型可唯一分解为对称部分和交错部分：

\beta=\frac{\beta+\beta^t}{2}+\frac{\beta-\beta^t}{2}.

对称双线性型和二次型可在规范正交基下对角化。

定理与证明#

9.5 双线性型空间维数。
若 $\dim V=n$，则双线性型空间维数为 $n^2$。证明：双线性型由 $n^2$ 个基向量对上的取值唯一决定。

9.6 双线性型与算子的复合。
$(u,v)\mapsto \beta(Tu,Tv)$ 仍是双线性型。证明：线性性逐变量传递。

9.7 换基公式。
双线性型矩阵在换基下发生合同变换，形如

$$ P^tAP. $$

9.12 对称双线性型可对角化。
在有限维实内积空间中，对称双线性型可在某规范正交基下对角化。

证明：由 $\beta(u,v)=\langle Tu,v\rangle$ 定义自伴算子 $T$，再用实谱定理。

9.13 用规范正交基将对称双线性型对角化。
这是 9.12 的规范正交基形式。

9.16 交错双线性型的刻画。
交错等价于 $\beta(v,v)=0$；在 $F=\mathbb R,\mathbb C$ 中也等价于

\beta(u,v)=-\beta(v,u).

证明：展开 $\beta(u+v,u+v)=0$。

9.17 双线性型分解。

V^{(2)}=V_{\mathrm{sym}}^{(2)}\oplus V_{\mathrm{alt}}^{(2)}.

证明：

\beta=\frac{\beta+\beta^t}{2}+\frac{\beta-\beta^t}{2}.

9.20 $F^n$ 上的二次型。
二次型可写成 $q(x)=x^tAx$，其中 $A$ 可取对称矩阵。

9.21 二次型的刻画。
二次型可由极化公式恢复对应的对称双线性型。

9.23 二次型对角化。
实二次型可在某规范正交基下写为平方项线性组合。

例题#

例：二次型 $q(x,y)=3x^2+4xy+3y^2$。
对应对称矩阵

\begin{pmatrix}3&2\\2&3\end{pmatrix}.

9B 交错多重线性型#

定义与对象#

$m$ 重线性型。
$\alpha:V^m\to F$ 对每个变量分别线性。

交错型。
若输入向量线性相关则值为 $0$；等价地，两个输入相同则值为 $0$。

排列与排列符号。
排列 $\sigma$ 的符号 $\operatorname{sign}\sigma$ 记录其由多少次交换得到的奇偶性。

常用性质#

交错多重线性型性质#

交错型输入线性相关时为零；交换两个输入，值变号；按排列重排输入时乘以排列符号。
若 $\dim V=n$，交错 $n$ 重线性型空间维数为 $1$。非零交错 $n$ 重线性型检测线性无关性。

定理与证明#

9.28 交错多重线性型和线性相关性。
若输入向量线性相关，则交错型值为 $0$。

证明：把某个向量写成前面向量线性组合，按多重线性展开，每项都有重复方向。

9.29 若 $m>\dim V$，不存在非零交错 $m$ 重线性型。
因为任意 $m$ 个向量线性相关。

9.30 交换输入向量使交错型变号。
证明：展开 $\alpha(\dots,u+v,\dots,u+v,\dots)=0$。

9.34 交换排列中两项改变符号。
证明：一次交换改变逆序数奇偶性。

9.35 排列和交错多重线性型。

\alpha(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(m)}) =\operatorname{sign}(\sigma)\alpha(v_1,\dots,v_m).

9.36 交错 $n$ 重线性型公式。
若 $v_k=\sum_j a_{j,k}e_j$，则

\alpha(v_1,\dots,v_n)= \sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sign}(\sigma) a_{\sigma(1),1}\cdots a_{\sigma(n),n}\alpha(e_1,\dots,e_n).

9.37 交错 $n$ 重线性型空间一维。
公式 9.36 表明它完全由 $\alpha(e_1,\dots,e_n)$ 决定。

9.39 交错 $n$ 重线性型与线性无关性。
非零交错 $n$ 重线性型在 $v_1,\dots,v_n$ 上非零，当且仅当这些向量线性无关。

例题#

例：二维交错型。

\alpha((a,b),(c,d))=ad-bc

是 $\mathbb R^2$ 上的交错双线性型。

9C 行列式#

定义与对象#

算子行列式。
行列式是算子对交错最高重线性型的缩放因子。

矩阵行列式。
矩阵行列式是其列向量代入标准交错型得到的数。

特征多项式。
在一般域上可定义为

\det(zI-T).

常用性质#

行列式性质#

行列式作为列向量函数是交错 $n$ 重线性型。计算性质：

\det(AB)=\det A\det B,\qquad \det A^t=\det A,

A\text{ 可逆}\Longleftrightarrow \det A\ne0,

\det(S^{-1}AS)=\det A.

列操作性质：

交换两列，行列式变号；
某列乘以 $\lambda$，行列式乘以 $\lambda$；
某列加另一列的倍数，行列式不变；
两列相同，行列式为 $0$。

谱性质：

\det T=\text{特征值按重数之积}\quad(F=\mathbb C),

|\det T|=\text{奇异值之积}.

特征多项式：

p_T(z)=\det(zI-T),

且

$$ p_T(T)=0. $$

定理与证明#

9.45 行列式是交错多重线性型。
作为列向量函数，$\det$ 对每列线性，并且两列相同时为零。

9.46 矩阵行列式公式。

\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sign}(\sigma) A_{\sigma(1),1}\cdots A_{\sigma(n),n}.

9.48 上三角矩阵行列式。
上三角矩阵行列式等于对角线乘积。证明：排列公式中只有恒等排列可能非零。

9.49 行列式可乘。

\det(ST)=\det S\det T.

证明：$v_1,\dots,v_n\mapsto \det(Tv_1,\dots,Tv_n)$ 是交错 $n$ 重线性型，因此是 $\det(v_1,\dots,v_n)$ 的常数倍；常数为 $\det T$。

9.50 可逆等价于行列式非零。
可逆等价于像基线性无关；由 9.39 等价于行列式非零。

9.51 特征值和行列式。

\lambda\text{ 是特征值}\Longleftrightarrow \det(\lambda I-T)=0.

9.52 行列式是相似不变量。

\det(S^{-1}TS)=\det T.

9.53 算子行列式等于矩阵行列式。
选基后，算子对体积型的缩放因子由矩阵列向量行列式给出。

9.55 复空间上行列式等于特征值乘积。
取上三角矩阵表示，行列式是对角线乘积。

9.56 转置、对偶、伴随的行列式。

\det A^t=\det A,\qquad \det T'=\det T,\qquad \det T^*=\overline{\det T}.

9.57 计算行列式的若干结论。
交换两列变号；一列乘标量，行列式同乘该标量；一列加另一列倍数，行列式不变；两列相同则行列式为零。

9.58 幺正算子行列式绝对值为 $1$。
幺正算子特征值绝对值为 $1$，行列式为特征值乘积。

9.59 正算子行列式非负。
正算子特征值非负，行列式为其乘积。

9.60 行列式绝对值等于奇异值乘积。
由 SVD：幺正因子不改绝对值，对角奇异值因子贡献乘积。

9.61 体积变化倍数。
可逆 $T$ 将体积乘以 $|\det T|$。

9.62 复空间上特征多项式等于 $\det(zI-T)$。
上三角化后直接比较对角线乘积。

9.64 Cayley-Hamilton 定理。

$$ p_T(T)=0. $$

复情形由第 8 章得到；实情形可复化或用多项式恒等性推出。

9.65 特征多项式、迹和行列式。
若 $\dim V=n$，则

p_T(z)=z^n-(\operatorname{tr}T)z^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det T.

9.66 阿达马不等式。
若列向量为 $v_1,\dots,v_n$，则

|\det(v_1,\dots,v_n)|\le\|v_1\|\cdots\|v_n\|.

证明：对列向量做 Gram-Schmidt，行列式绝对值变成正交分量长度乘积。

9.67 范德蒙行列式。

\det(\lambda_k^{j-1})_{j,k=1}^n =\prod_{1\le j<k\le n}(\lambda_k-\lambda_j).

例题#

例：三阶范德蒙。

\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{vmatrix} =(b-a)(c-a)(c-b).

9D 张量积#

定义与对象#

双线性泛函空间。
$B(V,W)$ 表示 $V\times W$ 上所有双线性泛函。

张量积。
$V\otimes W$ 是将双线性问题线性化的向量空间，基本元素写作 $v\otimes w$。

双线性映射。
$B:V\times W\to U$ 对两个变量分别线性。

多重张量积。
类似定义

V_1\otimes\cdots\otimes V_m.

常用性质#

张量积性质#

张量积把双线性/多重线性问题转化为线性问题：

B(v,w)=\widetilde B(v\otimes w).

若 $v_j$ 是 $V$ 的基，$w_k$ 是 $W$ 的基，则 $v_j\otimes w_k$ 是 $V\otimes W$ 的基。
维数公式：

\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot\dim W,

\dim(V_1\otimes\cdots\otimes V_m)=\prod_j\dim V_j.

内积空间张量积满足

\langle v\otimes w,v'\otimes w'\rangle =\langle v,v'\rangle\langle w,w'\rangle.

定理与证明#

9.70 双线性泛函空间维数。
若 $\dim V=m,\dim W=n$，则 $\dim B(V,W)=mn$。证明：双线性泛函由基向量对上的 $mn$ 个取值决定。

9.72 张量积维数。

\dim(V\otimes W)=(\dim V)(\dim W).

9.73 张量积的双线性。

(av_1+bv_2)\otimes w=a(v_1\otimes w)+b(v_2\otimes w),

另一个变量同理。

9.74 张量积的基。
若 $v_j$ 是 $V$ 的基，$w_k$ 是 $W$ 的基，则

v_j\otimes w_k

构成 $V\otimes W$ 的基。

9.79 化双线性映射为线性映射。
任意双线性映射 $B:V\times W\to U$ 唯一对应线性映射 $\widetilde B:V\otimes W\to U$，满足

\widetilde B(v\otimes w)=B(v,w).

9.80 张量积上的内积。
若 $V,W$ 是内积空间，定义

\langle v\otimes w,\ v'\otimes w'\rangle =\langle v,v'\rangle\langle w,w'\rangle

并线性延拓。

9.83 张量积的规范正交基。
若 $e_j$ 和 $f_k$ 分别是规范正交基，则 $e_j\otimes f_k$ 是 $V\otimes W$ 的规范正交基。

9.87 多重线性泛函空间维数。
维数等于各输入空间维数的乘积。

9.89 多重张量积维数。

\dim(V_1\otimes\cdots\otimes V_m)=\prod_j\dim V_j.

9.90 多重张量积的基。
各空间基向量的张量积构成多重张量积的基。

9.92 化多重线性映射为线性映射。
任意多重线性映射唯一对应张量积空间上的线性映射。

例题#

例：$F^2\otimes F^3$ 的维数。

\dim(F^2\otimes F^3)=2\cdot3=6.

若 $e_1,e_2$ 是 $F^2$ 标准基，$f_1,f_2,f_3$ 是 $F^3$ 标准基，则 $e_i\otimes f_j$ 共六个，构成一组基。

总复习#

主线图#

flowchart TD
    A["向量空间"] --> B["张成、线性无关、基、维数"]
    B --> C["线性映射"]
    C --> D["零空间和值域"]
    D --> E["线性映射基本定理"]
    C --> F["矩阵表示与换基"]
    C --> G["特征值与不变子空间"]
    G --> H["最小多项式、上三角化、对角化"]
    A --> I["内积空间"]
    I --> J["正交分解、投影、伪逆"]
    J --> K["伴随、自伴、正规"]
    K --> L["谱定理"]
    L --> M["正算子、等距映射、SVD"]
    G --> N["广义特征空间与若当型"]
    N --> O["迹与 Cayley-Hamilton"]
    M --> P["体积与行列式"]
    P --> Q["多重线性与张量积"]

证明模板#

子空间：证明非空且对任意线性组合封闭。
线性无关：设线性组合为零，推出每个系数为零。
张成：取任意目标向量，把它写成给定向量组的线性组合。
基：线性无关 + 张成；或用长度等于维数的快捷判别。
线性映射唯一性：基向量上的取值决定整个映射。
维数公式：优先想到线性映射基本定理或构造基。
正交结论：展开内积，使用伴随定义、谱定理或正交分解。
对角化问题：看特征空间维数之和，或看最小多项式是否无重根。
SVD 问题：先研究 $T^*T$。
行列式性质：回到“交错多重线性”和“体积缩放”。

高频公式#

\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T.

\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

M(ST)=M(S)M(T),\qquad M(Tv)=M(T)M(v).

B=P^{-1}AP.

|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|.

V=U\oplus U^\perp.

T\text{ 复正规}\Longleftrightarrow T\text{ 可由规范正交基对角化}.

A=U\Sigma V^*.

$$ p_T(T)=0. $$

\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).

\det(AB)=\det A\det B.

|\det T|=\prod_j s_j.

Linear algebra II notes

第 1 章 向量空间#

1A $\mathbb R^n$ 和 $\mathbb C^n$#

定义与对象#

常用性质#

复数与 $F^n$ 的运算性质#

定理与证明#

例题#

1B 向量空间的定义#

定义与对象#

常用性质#

向量空间中的派生性质#

定理与证明#

例题#

1C 子空间#

定义与对象#

常用性质#

子空间与直和性质#

定理与证明#

例题#

第 2 章 有限维向量空间#

2A 张成空间和线性无关性#

定义与对象#

常用性质#

张成与线性无关的常用性质#

定理与证明#

例题#

2B 基#

定义与对象#

常用性质#

基的性质#

定理与证明#

例题#

2C 维数#

定义与对象#

常用性质#

维数性质#

定理与证明#

例题#

第 3 章 线性映射#

3A 线性映射的向量空间#

定义与对象#

常用性质#

线性映射运算性质#

定理与证明#

例题#

3B 零空间和值域#

定义与对象#

常用性质#

零空间、值域、方程组性质#

定理与证明#

例题#

3C 矩阵#

定义与对象#

常用性质#

矩阵运算性质#

定理与证明#

例题#

3D 可逆性和同构#

定义与对象#

常用性质#

可逆与换基性质#

定理与证明#

例题#

3E 向量空间的积和商#

定义与对象#

常用性质#

商空间性质#

定理与证明#

例题#

3F 对偶#

定义与对象#

常用性质#

对偶性质#

定理与证明#

例题#

第 4 章 多项式#

本章目录式笔记#

定义与对象#

常用性质#

第 1 章向量空间#

第 2 章有限维向量空间#

第 3 章线性映射#

第 4 章多项式#

第 5 章特征值和特征向量#

第 6 章内积空间#

第 7 章内积空间上的算子#